淺議彈簧教學

劉景世

(寶雞文理學院物理系 陜西 寶雞 721013)

彈簧是一種利用彈性來工作的機械零件.利用它的彈性可以控制機件的運動、緩和沖擊或震動、貯蓄能量、測量力的大小等.它廣泛用于各種機械、儀表中,因此不論在中學物理教學或大學物理教學中均處于十分重要的地位.在彈簧的教學中如何較為全面地向學生介紹相關知識，使學生對這部分知識理解深刻，應用熟練呢？本文擬從彈簧力學模型特征、彈性勢能零點選取討論等四個方面加以分析、總結.

1 彈簧力學模型特征

在力學中經常涉及到“輕繩”、“輕桿”和“輕彈簧”模型，“輕繩”、“輕桿”及“輕彈簧”是由各種實際情況中的繩、桿和彈簧抽象出來的理想物理模型.由于“輕繩”、“輕桿”和“輕彈簧”這三種模型本身有著細微的差異，故表現出來的性質也有所不同.在分析彈簧力學模型特征時，不妨將這三種模型的特點加以對比，以加深對彈簧力學模型的理解.

1.1 三種模型的相同點

輕繩、輕桿和輕彈簧的“輕”(相對其他物體來說)就是指其質量可以忽略，所受重力可以忽略.它們對其他物體的作用力都是彈力，屬接觸力、被動力，都可以連接其他物體.

1.2 三種模型的不同點

1.2.1 作用力的效果

輕繩只能發生拉伸形變;輕桿、輕彈簧既能發生拉伸形變，也能發生壓縮形變.故輕繩對物體只能是拉力，而輕桿、輕彈簧對物體既可以是拉力，又可以是支撐力(或壓力).

1.2.2 作用力的方向

三者軟硬程度不同：繩是軟的，桿是硬的，彈簧介于二者之間.它們的形變方向有所不同：導致繩不能產生側向力;彈簧在只發生拉伸或壓縮形變而沒有彎曲和扭轉形變,可認為不能產生側向力;而桿能產生側向力.故輕繩上的作用力一定沿著繩子的方向，輕彈簧上的作用力一般認為沿彈簧長度方向，而輕桿上的作用力卻不一定沿桿的方向.

1.2.3 作用力的變化

輕繩、輕桿的勁度系數極大，受力形變極微，恢復形變不需要時間.輕彈簧的勁度系數不是十分大，受力后形變較大，恢復形變需要一段時間.故輕繩、輕桿對物體的作用力能發生突變，而輕彈簧對物體的作用力卻不能發生突變.

1.2.4 形體的變化

輕繩、輕桿的形變極微，故輕繩可認為是不可伸長的，但繩是軟的且可以松弛；輕桿可認為是不可能伸長或壓縮，其長度是不變的；輕彈簧的形變較大，其長度可以變化.

1.2.5 能量的變化

由于輕桿硬且直，所以用輕桿連接的系統的機械能一般認為不變；輕繩被拉直的過程中盡管時間極短，但用其連接的系統的機械能有損失，常常轉化為系統的內能；輕彈簧在彈性形變范圍內被拉伸或壓縮的過程中，用它連接的系統機械能沒有損失(不考慮摩擦)，只是動能或重力勢能與彈性勢能相互轉化，而沒有轉化為內能.

2 彈性勢能零點選取討論

在動力學教學中，我們常常應用機械能守恒定律

ΔEk+ΔEp=0

這時，就要考慮到如何選取勢能零點的問題.如果勢能零點選取恰當，解題過程就可以大為簡化；對于彈性勢能也不例外.現在筆者就彈簧的彈性勢能及簡諧振動系統中勢能零點選取問題進行分析、總結.

2.1 彈簧的彈性勢能成立的條件

對于彈性系統，通常規定彈簧無任何形變(不伸長也不縮短)時勢能為零，那么彈簧伸長或縮短x時系統的彈性勢能為

以豎直放置的彈簧振子為例，在不計彈簧質量和阻力的情況下，可以證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動，且其動力學、運動學方程的形式與水平放置的彈簧振子的形式完全相同.

當我們把彈簧的彈性勢能零點選取在距離彈簧原長端點處為x1的位置時，若彈簧在x1的基礎上又伸長了x時，經過簡單推導易知此時彈性勢能為

此時Epe而x為振子相對于新的彈性勢能零點的位移.由于x具有任意性，故選取x1處為彈性勢能零點時，其他任意點的彈性勢能為

彈簧處于原長時，x=-x1，此時彈性勢能為

由此可見，取任意點作為彈性勢能零點，彈性勢能可以出現負值.

2.2 簡諧振動系統總勢能成立的條件

我們經常遇到在諸如重力等恒外力作用下的簡諧振動問題.仍以豎直放置的彈簧振子為例，在力學教材[1～2]中，講解簡諧振動的能量轉換時，一般是以水平光滑桌面上的彈簧振子為例討論振動系統的動能、勢能隨時間變化規律，并計算總機械能.其振動位移表達式和機械能表達式分別為

x=Acos(ωt+φ)

和

3 彈簧連接體運動淺析

在物理教學中常見一些與彈簧有關的問題.由于彈簧形變發生時彈力會發生變化，使得與彈簧連接的物體受力發生變化，從而使物體的運動狀態變化復雜.但是只要我們弄清其變化的臨界狀態，再通過分析受力情況便可求得結果.在這里分析物理過程是一個難點，因為較復雜的物理過程往往是由彼此聯系的幾個分過程綜合而成的.因此教學中應注重培養學生對物理過程的分析，找出前后聯系的紐帶.

3.1 彈簧受力不能突變時的連接體臨界問題

應用知識點：彈簧由于自身特殊結構，使得其發生形變產生彈力時，彈力不能由某一值突變為零，或由零突變為某一值.

3.2 彈簧在不同長度時的連接體臨界問題

與彈簧連接的物體在運動過程中由于狀態的變化，從而使彈簧在某時刻最長，某時刻處于原長，某時刻最短，整個過程是動態的.求解這一類問題通常是先對物體受力分析，再結合物體的運動狀態和運動過程，分析彈簧什么時刻最長，什么時刻最短，什么時刻處于原長，然后求出其臨界值.

總之在解答彈簧連接體一類問題時，一般都是先對物體進行受力分析，找出物體的臨界狀態，結合動量定理、機械能守恒定律及牛頓第二定律；有些特殊情況還要用到簡諧振動的規律求解.

4 彈簧等效質量探析

反映彈簧振子系統重要特性的是它的周期公式

(1)

式中M是振子質量，κ是彈簧的勁度系數.教材對(1)式成立的條件作了明確界定：彈簧是理想的或輕質的，即彈簧自身質量可以忽略不計.當這個條件不成立時，周期公式又該如何表述？這就涉及到彈簧的等效質量問題.許多文獻從多種角度出發導出彈簧振子振動的周期公式為

式中me為彈簧的等效質量.此周期公式說明：當把彈簧的等效質量加到彈簧振子的質量上時，才能把彈簧振子視為理想的振動系統.文獻[3～4]通過分割法或積分法推導出

當m?M時

當m?M時

如今，隨著科學技術的發展和進步，彈簧的種類日益增多，其使用范圍也更加廣泛，彈簧在物理教學中的重要地位也更加突出.

參考文獻

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