分區均勻介質靜電場的求解

秦敢

(中國科學技術大學物理學院 安徽 合肥 230026)

1 分區均勻介質靜電場求解方法的回顧

分區均勻介質靜電場的求解是電磁學課程中比較有難度和有特色的內容.有兩種情形的分區均勻介質靜電場問題可以解析求解:一種是介質-介質界面與撤去電介質時的電場線平行;另一種是介質-介質界面與撤去電介質時的電場線垂直.它是唯一性定理應用的一個生動的實例，并且涉及到靜電學諸多原理的綜合應用.考慮到很多教材不涉及此內容，這里先對此類問題求解方法作簡要回顧.

1.1 介質-介質界面與電場線平行

設空間存在若干導體和均勻各向同性電介質，介質-介質界面與撤去電介質時的電場線平行，或形象地表述為，電介質按電場線管充滿，如圖1(a).

圖1 介質-介質界面與電場線平行

常見的兩種情況是：平板電容器中填充兩種電介質，介質-介質的界面和撤去電介質時的電場均為豎直方向，如圖1(b)；球形電容器中填充兩種電介質，介質-介質的界面和撤去電介質時的電場均為徑向，如圖1 (c).可以證明，加上電介質前后電場分布形式不變，即E=αE0，其中E0為無介質時自由電荷的電場.理由如下.

(1) 若上解成立，則P在介質-介質界面無法向分量，根據σe′=-(P2-P1)·n，界面σe′=0，所以極化電荷只可能存在于導體-介質界面.

(2) 為保證導體內恒無電場，有介質時導體-介質界面的總電荷 (自由電荷+極化電荷) 必須與無介質時導體表面的自由電荷有相同形式的分布，即σe=ασe0.這一點是由導體中自由電荷可以隨意流動來實現.

(3)由電場與電荷的線性關系得E=αE0, 正如猜想.

本解能保證導體邊界為等勢面.由唯一性定理，該解是唯一正確解.

由此得到此問題的求解步驟為,設無介質時的各區域電場E0i已知，由高斯定理

求出α，進而有

Ei=αE0i

特別是對于一維對稱問題，E0有統一的表達式，可直接計算E，不必引入α，因為上式可以簡化為

1.2 介質-介質界面與電場線垂直

設空間存在若干導體和均勻各向同性電介質，其中介質界面與撤去電介質時的電場線垂直，或形象表述為，在等勢面之間填充各種電介質，如圖2(a).常見的兩種情況是：平板電容器中填充兩種電介質，介質-介質的界面平行于極板，如圖2(b)；球形電容器中填充兩種電介質，介質-介質的界面為球面，如圖2(c).

圖2 介質-介質界面與電場線垂直

此時的解為

其中E0為無介質時自由電荷的電場.理由如下：

(1)ε0E0滿足D的高斯定理

SD·dS=Q0

這是因為

即

Sε0E0·dS=Q0

參照圖2(a)，則因為

盡管上述兩類解析方法原則上能求解更廣泛的問題，但在實際的例題和習題中，幾乎全部都是處理平板電容器和球形電容器這樣的簡單情況.也許有個很自然而且強大的理由：其他形狀邊界的例子依然有解析解，只是因為太復雜瑣碎而不予討論.畢竟平庸的復雜對于原理的領悟是不必要的.

一切看上去風平浪靜.但在長期的教學過程中，偶然性地發現了“異常”情況.

2 兩種分區情形同時存在時的求解

如圖3，平板電容器內填充三類電介質，能否解析求解各介質的電場？

圖3 兩種分區情形同時存在

一種常見的解法是：將各介質當作獨立的電容器，用電容器的串、并聯來求解，即介質2的電容器與介質3的電容器串聯后再與介質1的電容器并聯.這種方法本質上就是前述兩種分區介質求解方法的綜合運用——介質2與介質3構成的子體系對應界面與電場線垂直的情形，而該子體系與介質1構成的體系則對應界面與電場線平行的情形.

其實，通過對邊值關系的簡單分析就能看出來錯誤所在.若單一分區均勻介質靜電場解法對這種混合問題仍然有效，則平板電容器內各個區域的電場強度均沿豎直方向.由電場強度的邊值關系，介質1-2界面處有E1=E2，介質1-3界面處有E1=E3，于是E2=E3.可是在2-3界面處的邊值關系本來是D2=D3，兩者矛盾！可見，單一分區均勻介質靜電場的求解方法對兩種分區共存的情況是無效的.

該問題無解析解的實質原因何在？容易想到的是，與兩種單一的分區情形不同，兩種分區共存的情形過于復雜，電場線 (或電位移線) 不再能保持無介質時的分布形式.

也可以這樣間接地理解：如果該例有解析解，則電介質區域作進一步分割后仍會有解析解 (無非是更復雜的電容器串并聯而已)，以至于任何電介質分布下都可解析求解，這當然是不可能的.

這里討論的是嚴格解，如果忽略豎直邊界的邊緣效應，則常規的串并聯方法是可行的.其實，對此例的“吹毛求疵”，更多的目的是作為引子，引發對分區均勻介質靜電場問題的進一步探索.

3 介質-介質界面與電場線平行時解析解存在的條件

單一分區與兩種分區共存真的就是簡單與復雜的界限嗎？或者說，單一分區情形一定可以按前述方法求解嗎？至少對介質界面平行于電場線的情形就存在疑問：關系式σe=ασe0在任何情況下都有效嗎？

如圖4，導體1和2分別帶電Q1和Q2，電介質填充在導體1發出的、趨向無窮遠處的電場線管內.此時σe=ασe0和E=αE0一定能成立嗎？

圖4 介質填充在一個開放的電場線管

假設導體1表面自由電荷的流動性使得加入介質后總電荷面密度的分布與無介質時自由電荷面密度的分布成比例.由于極化電荷與自由電荷異號，所以比例系數α<1.但α是全局常數，這就要求導體2上的總電荷面密度有同樣的“衰減”，于是總電荷量必須作同樣程度的減少.但導體2上只有自由電荷，加入介質前后的電荷總量應該是不變的.可見，對這樣的單純邊界問題，文獻[1]中方法失效.

再看稍微復雜一些的情況：電介質填充在導體1和2之間的一個電場線管，能否求解？

要想E=αE0在全空間成立，必須有

則

Q1=-Q2

除此以外，有、無介質時的電場不會成比例分布.

圖5 介質填充在兩導體之間的電場線管

問題出現在什么地方？文獻[1]中方法有效的關鍵前提是，體系的確能夠保證有介質時的總電荷與無介質時的自由電荷有相同分布形式，即

σe=ασe0

但這里的兩個例子告訴我們，導體中自由電荷的任意流動性不足以保證在任何情況下總能做到這一點.其實這里的任意流動性并非無條件的任意，必須局限在同一導體.

由于習題中的導體通常是電容器的兩個極板，帶電荷為±Q，符合例2的特例，或者干脆是單一導體，所以期望的電荷分布總能做到.

需要指出的是，在求解介質-介質界面與磁感應線垂直時的靜磁場問題時，文獻[1]中方法有同樣的限制條件.

另外，經初步分析，介質-介質界面與電場線垂直時，解析解的存在是無條件的.原因是，此問題的解法原理中沒有類似E=αE0的苛刻要求.

4 結語

本文對分區均勻介質靜電場求解問題中一些情形作了具體的探討，希望有助于增加教與學的嚴謹性和趣味性.在探索所涉及問題的過程中，對一些電磁規律成立條件作了重新的審視，對電磁學基本原理進行了綜合思考，對于簡單與復雜、載流子的任意流動性有了進一步體會.

參考文獻

1 胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學與電動力學(上冊).北京：科學出版社，2008