Weibull分布恒加試驗(yàn)的Bayes推斷

武 東,張 青,湯銀才

(1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,安徽 合肥 230036;2.華東師范大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,上海 200241)

1 引言

隨著科技的發(fā)展和用戶對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的要求越來(lái)越高，高可靠長(zhǎng)壽命的產(chǎn)品越來(lái)越多，通常的截尾試驗(yàn)不能滿足要求，而加速壽命試驗(yàn)有助于縮短試驗(yàn)時(shí)間，常用的加速壽命試驗(yàn)有： 恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱恒加試驗(yàn))、步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)和序進(jìn)應(yīng)力加速壽命等.文[1-5]對(duì)在CE模型下Weibull分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，但上述文獻(xiàn)均沒(méi)考慮到產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平下的先驗(yàn)信息.本文討論了CE模型下定數(shù)截尾情形Weibull分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的Bayes分析， 對(duì)后驗(yàn)分布參數(shù)進(jìn)行了重參數(shù)化, 并結(jié)合自適應(yīng)舍選抽樣算法和Gibbs抽樣法對(duì)后驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行了Bayes估計(jì).最后，利用蒙特卡羅方法對(duì)定數(shù)截尾情形Weibull分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的Bayes估計(jì)進(jìn)行了仿真，通過(guò)仿真得到該估計(jì)是有效而實(shí)用的.

2 基本假定與試驗(yàn)安排

假設(shè)1 在正常應(yīng)力水平S0和加速應(yīng)力水平S0

(1)

其中ηi,i=0,1,…,k稱為應(yīng)力水平Si下的特征壽命.

假設(shè)2 在各種應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的失效機(jī)理相同，即m0=m1=…=mk=m.

假設(shè)3 產(chǎn)品的特征壽命ηi與加速應(yīng)力水平Si滿足下列加速模型， 即

(2)

其中a,b為參數(shù)，φ(Si)是應(yīng)力水平Si的已知減函數(shù).

在加速應(yīng)力水平Si下取ni個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾恒加試驗(yàn)，設(shè)在應(yīng)力Si下的失效時(shí)間為

(3)

其中ri為預(yù)先給定的中止試驗(yàn)的樣本數(shù).

3 Bayes估計(jì)

由加速方程知

ηi=η0exp{-b[φ(S0)-φ(Si)]}=η0θ-φi，

于是得到樣本的似然函數(shù)為

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)得到加速系數(shù)θ的取值范圍為1≤k1<θ

(4)

產(chǎn)品在S0下, 取ηm的自然共軛分布為逆Gamma分布, 其概率密度為

(5)

其中η>0,a>0,b>0,a和b為超參數(shù).

通常情況下依據(jù)歷史數(shù)據(jù)或?qū)＜业慕?jīng)驗(yàn)可以確定形狀參數(shù)m是小于1(對(duì)應(yīng)的失效率單調(diào)遞減)還是大于1(對(duì)應(yīng)于失效率單調(diào)遞增).因此若已知m∈(0,1)中，則取b的先驗(yàn)分布為Beta分布, 若已知m∈(1,+∞) 則取m-1的先驗(yàn)分布為Gamma分布.記m的先驗(yàn)分布為π(m)[7].至此，得到m,η,θ的聯(lián)合后驗(yàn)密度為

(6)

為了計(jì)算方便，對(duì)參數(shù)進(jìn)行重參數(shù)化，作變換

其Jacobi行列式為

則得到λ,μ,m的聯(lián)合密度為

(7)

下面利用馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法的Gibbs抽樣來(lái)獲得參數(shù)λ,μ,m的后驗(yàn)分布及Bayes估計(jì). 由(7)知，λ的邊際后驗(yàn)分布為

(8)

μ的邊際后驗(yàn)分布為

(9)

m的邊際后驗(yàn)分布為

(10)

只要有失效數(shù)據(jù), 即r≥1，從而有

容易驗(yàn)證μ和m的邊際后驗(yàn)分布均為對(duì)數(shù)上凸函數(shù)，因此μ和m的抽樣可按自適應(yīng)舍選抽樣法[7,8]獲得.

Weibull分布場(chǎng)合恒加試驗(yàn)的Bayes估計(jì)可按以下步驟進(jìn)行：

(1)假設(shè)起始點(diǎn)為(λ(0),μ(0),m(0))；

(2)從邊際后驗(yàn)分布π(λ|μ(i-1),m(i-1))抽取λ(i);

(3)從邊際后驗(yàn)分布π(μ|λ(i),m(i-1))抽取μ(i);

(4)從邊際后驗(yàn)分布π(m|λ(i),μ(i))抽取m(i);

(5)令i=i+1,并返回到(2),直到達(dá)到給定終止迭代次數(shù).

則(λ(i),μ(i),m(i),i=1,2,…,M1,M1+1,…,M)為參數(shù)(λ,μ,m)的一個(gè)Gibbs迭代樣本.其中M1為Gibbs迭代抽樣達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前舍棄的樣本容量，M>M1為總的樣本容量.于是λ,μ和m的Bayes估計(jì)可用舍棄后的M-M1個(gè)Gibbs抽樣的樣本均值獲得， 進(jìn)而可以得到η,θ,和m的Bayes估計(jì).

4 仿真例子

以上已經(jīng)得到Weibull分布步加試驗(yàn)的η,θ和m的Bayes估計(jì)，現(xiàn)用Monte Carlo方法進(jìn)行模擬.步驟如下:

(2)從Weibull分布Wei(ηi,m)產(chǎn)生應(yīng)力水平Si下的定數(shù)截尾壽命數(shù)據(jù)，其中m=0.85，此時(shí)Si下的特征壽命η=2422.24，而加速系數(shù)θ=1.4924.

(4)重復(fù)上述模擬100次，然后分別計(jì)算不同情形下Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差和相對(duì)均方誤差.

表1給出了Weibull分布恒加試驗(yàn)的Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差和相對(duì)均方誤差表.模擬結(jié)果表明：在各種情形下，Bayes估計(jì)的效果均較好.

表1 Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差和相對(duì)均方誤差表

參考文獻(xiàn)：

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