求的值的方法

653100 云南省玉溪第一中學 武增明

653100 云南省玉溪第一中學 武增明

有些函數值的求和問題，表面上看，與周期性、等差性、等比性無關，但事實上隱含著周期性、等差性、等比性，一旦將其周期性、等差性、等比性揭示，問題便迎刃而解．筆者就從何處揭示這些隱含的特性，從哪里入手找到撬動這些特性的支點，作一些探析，以饗讀者．

1 f(a)+f(b)=c型

這類函數值求和問題，一般是由題目給出一個具體的函數解析式，要求求出所給函數值的和．這類似于在等差數列中，與兩端等距離的兩項之和相等這一條性質的運用．

2 f(x+a)=f(x)型

這類函數值求和問題，一般是由題目給出一個具體的函數解析式，或函數方程，或函數遞推關系，要求求出所給函數值的和．此類問題可考慮去找f(x+a)=f(x)這種關系式，由此可知周期是a，借此求出其和．

例2 設函數 f(x)滿足 f(1)=1，f(2)=2，且f(x)f(x+1)f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)對任意實數x都有f(x)f(x+1)≠1，求f(1)+f(2)+…+f(2011)的值．

分析 此題從表面上看不出有何規律，可考慮計算幾個函數值，看是否有周期性的可能．由題設可知，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4)=1，f(5)=2，f(6)=3，由此猜想f(x)是周期為3的周期函數．

即從f(1)到f(2010)中，共有670個周期，且每個周期的“和”為6，

∴ 原式=670×6+f(2011)=670×6+f(1)=4021．

點評 本題通過計算具體函數的值，探索規律，找到思路后，利用遞推消元法得出f(x+a)=f(x)，這是處理這類問題的一大法寶．此題也可用歸納猜想法猜想出f(x+a)=f(x)．

3 f(x+1)=af(x)型

這類函數值求和問題，一般是題目給出函數方程，或函數遞推關系，或函數迭代關系，要求求出所給函數值的和．這類似于等比數列的求和問題．

4 f(x+1)－f(x)=a型

這類函數值求和問題，一般是題目給一個或者多個函數方程，或函數遞推關系，或函數不等式，或具體的函數解析，要求求出所給函數值的和．這類似于等差數列的求和問題．

例4 設函數f(x)滿足(x-1)f(x-1)-(x-2)f(x)=1(x∈N*，x≥3)，且 f(1)=1，f(2)=3，求 f(1)+f(2)+…+f(2011)的值．

分析 為了尋找到思路，通過賦值計算得f(3)=5，f(4)=7，f(5)=9，由此觀察發現相鄰兩個函數值的差為2，具有構成等差數列的條件，因此，想到轉化為等差數列的求和問題．

∴數列{f(n)}是首項為f(1)=1，公差為2的等差數列，

故原式=2(1+2+…+2011)-2011=20112．

點評 賦值探路，發現f(x+1)-f(x)=2，是通向勝利的陽光大道．

解決函數值求和問題，一般是要通過題目所給的函數解析式、函數方程、函數遞推關系、函數不等式等，細心觀察所求函數值的規律，找到函數本身具有的特殊性質，再確定解決問題的途徑與方法．

20110501)