不等長雙縫夫瑯禾費衍射光強分布

史勤益，梁華秋

（臺州學院 物理與電子工程學院，浙江 臺州 318000）

不等長雙縫夫瑯禾費衍射光強分布

史勤益，梁華秋

（臺州學院 物理與電子工程學院，浙江 臺州 318000）

根據夫瑯禾費衍射與傅立葉變換的關系，數值計算了由寬度相同而長度不同雙縫組成衍射平面的夫瑯禾費衍射光強分布，結果表明雙縫長度之比是影響干涉條紋的可見度的主要因素。

夫瑯禾費衍射；不等長雙縫；傅立葉變換；光強分布

1 引言

衍射是光波動性的表現之一。雙縫衍射本質上是單縫衍射與雙縫干涉共同作用的結果，在光學教學中分析不同情況下雙縫衍射的條紋特征，可以加深對光波干涉與衍射的理解。對衍射光強分布的計算一般采用惠更斯-菲涅耳原理，由于計算復雜，普通教材中只對等長等寬雙縫的衍射光強分布給出解析解［1,2］。如果狹縫的長度或寬度不同，對衍射光強分布又會產生怎樣的影響呢？我們注意到洪正平等［3］討論了不等縫寬雙縫衍射光強分布特征，張永炬等［4］用光電傳感器觀測了雙縫部分相干干涉光強分布，并對部分相干現象作出理論解釋，但至今尚未見到對不等長雙縫衍射光強分布進行分析的報導。本文根據夫瑯禾費衍射與傅立葉變換的關系，利用數值計算分析不等長雙縫的夫瑯禾費衍射光強分布特點，并定性分析兩縫長度之比對光強分布的影響。

2 計算方法

如圖1（a）所示，衍射平面x0y0由寬度相同而不長度不同的雙縫組成。狹縫內復振幅透過率為1，狹縫外復振幅透過率為0。兩條狹縫縫寬均為b，第一條狹縫長度為l1，第二條狹縫長度為l2，兩縫中心之間的距離為d。

圖1 等寬不等長雙縫衍射裝置，其中（a）不等長雙縫衍；（b）衍射平面與觀察平面的相對位置

圖1（b）表示衍射平面與觀察平面的相對位置。衍射平面x0y0與觀察平面xy距離為z，衍射平面上點 P（x0y0）與觀察平面上 Q（xy）點的光矢量的復振幅分別為 U0（P）、U（Q）。對于夫瑯禾費衍射，傍軸條件與遠場條件同時得到滿足，則有［5］：

上式中 F{U0（x0,y0）}表示 U0（x0，y0）的傅里葉變換。根據光強 I與|U（x，y）|2的正比關系即可求得觀察平面上的光強分布。

3 數值計算及結果分析

根據（1）式，對雙縫夫瑯禾費衍射的光強分布進行數值計算，我們令兩縫之間的距離為8b。圖3（a）為等長等寬雙縫衍射光強分布，圖 3（b）～圖 3（f）分別顯示了兩度縫長度之比 l1/l2分別為 1/2、1/4、1/8、1/16、1/32作為衍射平面的夫瑯禾費衍射在垂直狹縫方向的光強分布，圖3（g）為單縫衍射光強分布。

圖2 不等長雙縫夫瑯禾費衍射在垂直狹縫方向的光強分布

下面我們將分析不等長雙縫夫瑯禾費衍射在垂直狹縫方向的光強分布特征，定性討論兩條狹縫長度之比對條紋可見度的影響。條紋可見度表示為［6］

從上式可以看出條紋中的光強極小值Imin越大，則可見度越小。從圖2中可以看出：

（1）對比圖（a）～（f）可以看出，與等寬等長雙縫一樣，不等長雙縫衍射也是單縫衍射與雙縫干涉共同作用的結果。雙縫干涉形成密集等間距條紋，而每一干涉條紋的光強最大值受單縫衍射的調制。由于我們數值計算時采用d=8b，在不等長雙縫衍射圖樣中，同樣可以看到缺級現象，即干涉條紋的缺級發生在第8，16，…，級。

（2）當兩縫長度相同，即為等寬等長雙縫的衍射，如圖2（a）所示，干涉條紋的光強的最小值為0，可見度最大；從圖（b）～（f）可以看出，當兩縫長度不相同時，干涉條紋的光強的最小值一般不為0，當兩縫長度之比l1/l2減小時，也就是說兩狹縫長度的相差變大，干涉條紋可見度呈下降趨勢；與等長等寬雙縫衍射光強分布相比較，當l1/l2分別為1/2、1/4時，雖然條紋可見度變小，但衍射中央主極大所包含的干涉條紋仍然明顯可見，當l1/l2降低到1/8時，從圖中可知，中央主極大所包含的最旁邊的條紋已經消失，當l1/l2繼續降低時，就有更多的條紋消失，如當l1/l2=1/32，衍射中央主極大下最多只能觀察到0，±1，±2等5條干涉條紋，但可見度較小。

（3）在相同的情況下，單縫衍射除中央主極大以外其余各級所包含的干涉條紋可見度更小，如當l1/l2=1/32時，單縫衍射除中央主極大以外其余各級單縫次極大所包含的干涉光強雖有起伏，但基本上已經不能形成條紋，衍射光強分布與圖2（g）所示的單縫衍射光強分布接近。

4 結論

本文根據夫瑯禾費衍射與傅立葉變換的關系，計算了寬度相同而長度不同的雙縫夫瑯禾費衍射光強分布，并分析了衍射光強的分布特點，通過以上分析，可以得出如下結論：

（1）寬度相同而長度不同的雙縫的夫瑯禾費衍射光強分布，可以看成是單縫衍射與不等長雙縫干涉共同作用的結果。缺級的條件及位置與等寬等長雙縫相同。

（2）雙縫長度之比是影響干涉條紋的可見度的主要因素。當雙縫長度差別較大時，在觀察平面上將得到的是相當于兩列強度相差較大的相干光疊加而形成的圖樣，干涉條紋的可見度較低。當雙縫長度接近時，條紋的可見度較大。當兩縫長度相同時，在觀察平面上將得到的是普通雙縫的夫瑯禾費衍射圖樣，條紋可分見度最大，形成了清晰可見的明暗相間條紋。

在教學中，如果利用激光直接照射雙縫觀察雙縫衍射光強分布，應當盡量使得激光光斑位于雙縫中心，如果激光光斑偏離其中心，觀察到的相當于不等長雙縫衍射的光強分布，將會影響干涉條紋的可見度。

［1］母國光，戰元令．光學［M］．人民教育出版社，1978：325-331．

［2］姚啟鈞．光學教程［M］．高等教育出版社，2008：96-97．

［3］洪正平，王秀娥，高嵩．不同縫寬雙縫衍射光強分布的分析［J］.山東師范大學學報（自然科學版），2010，25（3）：64-66．

［4］張永炬，馮尚申，梁華秋，鄭薇薇．雙縫部分相干干涉光強分布觀測與分析［J］.大學物理，2003，22（4）：32-34．

［5］蘇顯渝，李繼陶．信息光學［M］．北京：科學出版社，1999：34-47．

［6］E．赫克特，A．贊斯著，詹達三，秦克誠，林福成譯．光學（下冊）［M］．高等教育出版社，1980：867-876．

Fraunhofer Diffraction Light Intensity Distribution of the Double-slit with Inequality Length

SHI Qin-yi，LIANG Hua-qiu
(School of Physics and Electronics Engineering,Taizhou University,Taizhou 318000,China)

According to the relationship between Fraunhofer diffraction and Fourier transformation, the Fraunhofer diffraction light intensity distribution of the double-slit with equality wideth but inequality length is numeriacally calculated. The result shows that the proportion of the length of the double-slit will mainly affect the visibility of the interference fringe of the double-slit.

Fraunhofer diffraction;double-slit with inequality length;Fourier transformation;light intensity distribution

周小莉）

R730.2

A

1672-3708（2011）06-0017-04

2011-08-23；

2011-08-28

梁華秋（1 9 6 7- ），男，浙江臨海人，副教授，主要從事量子信息研究及光學教學研究。