“單擺測重力加速度”的實驗研究與誤差分析

王金德

（ 滄州師范學院 物理與電子信息系，河北 滄州 061001 ）

“單擺測重力加速度”的實驗研究與誤差分析

王金德

（ 滄州師范學院 物理與電子信息系，河北 滄州 061001 ）

以“單擺測重力加速度”的力學實驗為例，從誤差理論出發，討論怎樣減小測量誤差以及對單擺測重力加速度實驗的最優化設計。

單擺實驗； 重力加速度； 誤差分析； 實驗設計

科學地設計實驗方案、合理地選擇實驗儀器、運用誤差理論尋求減小誤差的方法，做出令人滿意的實驗結果，是物理教師應具備的基本實驗素質，能有效地指導學生設計實驗，提高學生的實驗能力，培養科學探究精神。科學的實驗設計方法，要求物理教師在一定實驗條件下，從實驗的誤差分析入手，尋找誤差的主要來源，運用誤差理論，提出減小誤差的問題，提高實驗精度的手段、方法和措施。遵循的原則是：“力求用最小的代價，來獲取最佳的效果，不能一味地追求儀器越高級越精密越好，環境越穩定越好，測量次數越多越好，方法越完善越好”。本文以“單擺測量重力加速度”為例，說明如何設計實驗和減小誤差。

1.通過系統誤差分析設計較為理想的單擺

把一個質點，用一根不可伸長的幾何線段懸于一點，即構成理想的單擺，其運動方程是：

在擺角很小的情況下其做簡諧振動，近似解為：

在實際實驗中，質點用一擺球，懸線用一根“細”“剛”線，盡管在制作中，使擺球盡量小、盡量接近質點，懸線盡量細輕，其質量近于忽略，受力變化引起的擺長變化也忽略，但上述原因畢竟不能實現理想的數學擺模型。加之空氣浮力和空氣阻尼等諸多因素，都會對實驗結果帶來系統誤差。

1.1. 擺球半徑和懸線質量的影響

設L為懸點到擺球質心的距離，r為擺球半徑，m為擺球質量，為懸線質量，在要求較高的單擺實驗中，應做復擺修正，其運動方程則變為：

在擺角很小的情況下的近似解為：由（1）式，懸線質量的影響使重力加速度測量值偏小。對擺球半徑的影響，可令μ=0進行修正

重力加速度的測量值偏大。

1.2. 擺角影響

擺角很小的條件亦難以滿足，若取二級近似，有

可得θ＜5.1°，一般可取θ＜5°。

1.3. 實驗操作對測量準確性的影響

實驗時許多學生不是由最高點釋放，而是要“送上一程”，給小球一個速度，若其速度方向和重力方向不共面，則單擺會變橢圓錐擺，其影響可聯系圓錐擺的周期公式：

兩者進行比較，帶來系統誤差使得重力加速度的測量值偏大。實驗采用累積計時辦法，因同一實驗者的固定習慣，對計時亦帶來系統誤差，針對這種情況，可采用類似“導號”的辦法，在不改變擺長情況下，讓不同習慣的實驗者進行測量，求出周期的平均值，可減小該原因帶來的系統誤差。

擺球擺動中擺球在不同位置，其速度大小是不同的，過平衡位置時速度最大。對同一實驗者，如果空間定位的誤差不變，擺球速度越大，計時誤差越小，周期測量也就越準確所以實驗應從平衡位置開始計時。實驗中，不少實驗者視線與擺平面不垂直，這對測量結果亦會帶來系統誤差，但只要保持視線方向不改變，在不計入半個周期的情況下，本誤差會自動消除。所以要求在實驗計時時，保持相對穩定的視線方向。若停表不準，會對實驗結果帶來系統誤差。這需在實驗前對停表進行校準，方法是選擇一個數字毫秒表作為標準表，如停表在走過tn秒的時間時，毫秒表走過了ts秒，則校準系數為C=ts/tn，將實驗測出周期T'乘以校準系數C即T=CT'才是真正測出的周期。

1.4. 其他因素的影響

實際擺動中受到空氣浮力的作用，在擺球密度不是很大時，應做浮力修正，實際測量加速度應為重力和浮力的合力產生加速度，將它作為重力加速度，測量值偏小。

實驗中還應考慮空氣阻尼帶來影響。可以分析它使得周期偏大，重力加速度偏小。但因為擺長較長，速度不大，阻力很小，所以影響很小。

2.從誤差分析，尋找測量誤差的主要來源

在進行隨機誤差分析中，需將“—”號變成“+”號，同時將“d”變為“Δ”，有：從上式可看出重力加速度測量的誤差來源于擺長的周期測量。

實驗中若采用長度約為 1米的細線，擺球用直徑約為2cm的小球，用mm刻度尺測得擺線長度按1m計算，用卡尺測得擺球直徑按2cm計算，有擺長L=（101.00±0.05）cm，周期測量若選用實驗室常用精密度為（1/10）s的停表進行直接測量，測量結果按2.1s計算，有T=（2.1±0.1）s，由間接測量的誤差傳遞公式（4）：

從上述結果不難看出，實驗誤差主要來源于周期T的測量。

3.實際設計方案的制定

厘米刻度尺和（1/10）s的停表均為實驗室常用儀器，但帶來的誤差相關懸殊。從實驗設計角度上講，擺長和周期測量的誤差不能采用均分的辦法，更沒有必要過分追求刻度尺的精密度（用卡尺測擺球直徑，其目的是方便測量，而不提高精密度），實際設計的著重點放在減少周期測量的誤差上，而減少這個誤差又絕不能靠提高停表的精密度。這是因為計時時，定位的計時誤差較大，即使“準確度”最高的人，其定位的計時誤差也遠遠大于停表的精密度。怎么辦呢？有效的辦法是采用累積計時的方法。

還以上面數據為例，為使重力加速度測量誤差不超過2%，應如何制定實際方案呢？由誤差公式：

（1）從單純的儀器選擇角度，選用實驗室常用的停表，其精密度若為（1/10）s，進行累積計時，如測出n=10次全振動所用時間T=（21.0±0.1）s，周期T=t/ n=（21.0±0.1）s ，ΔT=0.1s/10=0.01s＜0.02s就可滿足要求。

可求得，n′≥26.25。所以在實驗中，一般測量連續擺動30個全振動所用時間來計算周期T。

用單擺測重力加速度，在理論上分析上述原因對實驗都帶來系統誤差的基礎上，將單擺模型理想化，不要求學生一定分析上述原因帶來的是何種影響的結論，引導學生進行科學探究。但為了減小這些影響，教師在制作單擺時，對擺線的要求是輕、細、軟，以使其質量和伸縮忽略不計，且要求合適的長度（不小于1米）；擺球應選用密度較大的材料（銅、鐵），制成半徑遠小于擺長有中心孔的實心小球。安裝時應使擺的懸點位置固定不變，擺動時擺角應小于5°，這些即可保證實驗的單擺盡可能接近理想的單擺。

由于普通物理實驗室單擺儀器設備較為簡單，我們要學會一套實驗設計方法，用誤差理論引導學生做出令人滿意的實驗結果來，這是物理教師應具備的一項基本教學素質。

[1] 曾貽偉等.普通物理實驗教程[M].北京：北京師范大學出版社，1989.

Experimental Study and Error Analysis in the experiment of “measuring acceleration of gravity by single pendulum”

WANG Jin-de
（ Department of Physics and Electronic Information, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China ）

Taking the mechanical experiment of “measuring acceleration of gravity by single pendulum” as an example, this paper discussed how to reduce the measurement error and optimal design of the experiment.

experiment of “single pendulumtourism”;acceleration of gravity;error analysis;experiment design

（責任編輯 李宗寶）

O3 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A

A

1673-9639 （2011） 03-0126-03

2011-04-26

王金德（1965-），男，河北滄州人，河北滄州師范學院物理與電子信息系副教授，主要承擔物理教學論、多媒體教學技術課程的教學。