對正方體展開和折疊的簡化

圖形的展開和折疊是培養(yǎng)學(xué)生空間知覺能力的重要課題，在教學(xué)過程中我引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并借鑒已有的知識與方法，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題理性歸納的過程，通過合作探究，小組交流，引導(dǎo)學(xué)生在自主合作的探究過程中獲取知識、能力、經(jīng)驗，增強(qiáng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)問題意識、應(yīng)用意識，

【例】下列各圖中，經(jīng)過折疊不能圍成一個正方體的是()，

由于學(xué)生的空間想象能力并沒有完全建立，因此對這樣的習(xí)題依然存在畏難情緒，怎樣才能解決這類習(xí)題呢?我首先給學(xué)生布置了如下任務(wù)：先把學(xué)生分成6個小組，然后每個小組分發(fā)若干張矩形的硬板紙(剛好能剪成六個正方形)，要求把硬板紙剪成6個正方形，并把剪下來的6個正方形粘在一張薄紙上，然后折疊成一個正方體，在學(xué)生把正方形粘在薄紙上后，有的能折成正方體，有的卻不能，學(xué)生很快就提出問題：“把六個正方形粘成什么形狀才能折成正方體?”

引導(dǎo)學(xué)生：借助數(shù)學(xué)中常用的分析方法，假設(shè)已經(jīng)折疊成了正方體，把它展開之后會得到什么形狀的平面圖形呢?學(xué)生將不同的正方體展開圖貼到黑板上，一會兒整個黑板幾乎被貼滿了，這么多種展開圖有沒有規(guī)律?如果有規(guī)律，可以歸納成幾種類型?在經(jīng)過熱烈的討論之后，學(xué)生找到了以下規(guī)律：第一類(如圖1)，這一類形象地稱作141(最上面一個，最下面一個，中間四個聯(lián)系在一起)；第二類231(如圖2)；第三類222(如圖3)；第四類33(如圖4)，

可以觀察到上面的規(guī)律有四組結(jié)論，比較難于掌握，為了記憶方便，把上述四種情況分為二類，第一類三排：141，231，222，但田字形不行，凹字形不行；第二類二排：33，

進(jìn)一步思考：上述方法需要死記硬背，容易忘記，有沒有更具操作性的方法?

容易想到如下問題：如能在展開圖中找到構(gòu)成正方體的三個對面，那么展開圖就可以折疊成正方體，展開圖中什么形式的兩個面能構(gòu)成正方體的對面?通過分析，圖1中141的兩個1面可以構(gòu)成正方體的對面，圖5情形我們稱之為131，兩個1面也可以構(gòu)成正方體的對面，圖6情形我們稱之為121，兩個1面也可以構(gòu)成正方體的對面，一般情形，連續(xù)三個正方形的左右兩個正方形可以構(gòu)成正方體的對面，

通過分析我們得到一個具有操作性的判斷方法：可以設(shè)想把141，131，121中間的4，3，2壓縮為一個正方形，統(tǒng)一變成一般情形來進(jìn)行判斷，如能找對三個對面則能折疊成正方體，

圖1中，中間4個正方形壓縮為一個正方形，則上下兩個正方形構(gòu)成對面；再看中間四個正方形，從左到右，第一個同第三個，第二個同第四個構(gòu)成立方體的兩個對面，所以能折疊成立方體，再看圖2中第一種情形，為了敘說方便我們給正方形標(biāo)號(見圖7)，從正方形5開始，43壓縮，與2構(gòu)成對面，正方形4、32壓縮，與6構(gòu)成對面，最后31構(gòu)成對面，所以這一情形能折疊成正方體，再來看一下不成立的情形，我們也給正方形標(biāo)上號(見圖8)，這時13可以成對面，26成對面(35壓縮)，但45不能成對面，所以圖8不能折疊成正方體；另一情形，1與5(24壓縮)可以成對面，26可以成對面(35壓縮)，但34不能構(gòu)成對面，所以圖8不能折成正方體，一般地，一個圖例如要討論多種情形，只要有一種情形不成立，此種圖例也就不能折疊成正方體，

折疊問題有了上面方法就可輕易解決了，并且容易解決如下問題：要做一個正方體形的燈籠，并想在燈籠的一組對面上寫上兩字，有了上面方法，可以在展開圖上直接寫出，這里就不做進(jìn)一步探討，

(責(zé)任編輯金鈴)