利用結構對稱簡化超靜定結構的計算

摘 要:現代工程中，對稱超靜定結構隨處可見，常見的超凈定結構的類型有:超靜定梁、超靜定桁架、超靜定拱、超靜定剛架及超靜定組合結構，求解超靜定結構常用的方法有力法(柔度法)和位移法(剛度法)，以及在其基礎上演變而來的力矩分配法、漸近法和矩陣位移法，本文注重以力法(柔度法)為例，進行闡述。

關鍵詞:對稱結構 超凈定結構 力法

中圖分類號:TU322文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(b)-0087-02

在幾何構造上，超靜定結構可以看作是在靜定機構的基礎上增加若干多余聯系(約束)而構成。因此，確定超靜定次數的最直接的方法，就是解除多余聯系，將原有超凈定結構中去掉多余聯系后所得到的靜定結構稱之為力法的基本結構，所去掉的多余聯系，則以相應的多余未知力來代替其作用，基本結構在原有荷載和多余未知力共同作用下的體系稱之為力法的基本體系，工程領域中，很多結構為對稱結構，且超靜定次數較多，不能較快地判斷結構的受力情況，如果能夠降低超靜定的次數，轉化為一次或二次超靜定來分析，就會給計算提供一種快捷的方法，本文就從這方面就行探討。其中對稱結構是指:結構的幾何形式和支承情況對某軸對稱;桿件截面和材料性質也對此軸對稱，因而桿件的截面剛度EI對此軸對稱。

1 由卡氏定理推導力法方程

設結構為n次超靜定，采用基本體系的概念，以多余未知力為基本未知量，基本體系的內力可表示為

(1)

上述式中，、、和、、分別為基本結構右單位力和荷載引起的彎矩、剪力、軸力。當為任意參數時，式1中的內力都是原超靜定結構的靜力可能(滿足平衡條件的)內力。

下面將用能量偏導數定理導出力法方程，第一步，求應變能，并用基本未知力表示。

結構的應變能

(2)

將(1)式代入(2)中，得

(3)

上式可寫成

(4)

其中C為常數。

第二步，應用卡氏第二定理，求與基本未知力相應的位移

(5)

因為與基本未知力相應的位移，由(4)和(5)得

，

這n個方程可寫為

(6)

式(6)即為n次超靜定結構的力法基本方程，在上述方程組中，主斜線(自左上方的至右下方的)上的系數稱之為主系數或主位移，它是在單位多余未知力單獨作用時所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒為正，其余的系數稱之為副系數或副位移，它是單位多余未知力單獨作用時所引起的沿方向上的位移。各式中最后一項稱之為自由項，它是荷載單獨作用時所引起的沿方向的位移。系數和自由項可正、可負、可為零、根據位移互等定理可知，在主斜線兩邊外對稱位置的兩個副系數，上述推導出來的方程就是力法的典型方程。

2 取一半結構分析對稱結構

如果對稱軸兩邊的力大小相等，繞對稱軸對折后作用點和作用線均重合且指向相同，則稱之為正對稱的力，若對稱軸兩邊的力大小相等，繞對稱軸對折后作用點和作用線均重合但指向相反，則則稱之為反對稱的力，當對稱結構承受一般非對稱荷載時，可以將荷載分解為正、反對稱的兩組，將它們分別作用于結構上求解，然后截取結構的一半來進行計算，最后將計算結果進行疊加。下面分別就奇數跨和偶數跨對稱剛架加以說明。

2.1 奇數跨對稱剛架

如圖3-1a，在正對稱荷載作用下，由于只產生正對稱的內力和位移，故可知在對稱軸上的截面C處不可能發生轉角和水平線位移，但可有豎向線位移。同時，該截面上將有彎矩和軸力，而無剪力。因此，截取鋼架的一半時，在該處應用一定向支座來代替原有聯系，從而得到圖3-1b，在反對稱荷載作用下3-1c，由于只產生反對稱的內力和位移，故可知在對稱軸上的截面C處不可能發生豎向線位移，但可以有水平線位移及轉角。同時，該截面上彎矩、軸力均為零而只有剪力。因此，截取一半時該處用一豎向支承鏈桿代替原有聯系，如圖3-1d。

2.2 偶數跨對稱剛架

如圖3-2a所示，在正對稱荷載作用下，若忽略桿件的軸向變形，則在對稱軸上的剛結點C處將不可能產生任何位移。同時，在該處的橫梁桿端有彎矩、軸力和剪力存在。因此，截取一半時該處用固定支座代替，從而得到圖3-2b所示的計算簡圖。如圖3-2c，在反對稱荷載作用下，可將其中間柱設想為由兩根剛度各為I/2的豎柱組成，他們在頂端分別與橫梁剛結，顯然與原結構是等效的。然后設想將此兩柱中間的橫梁切開，則由于荷載是反對稱的，故切口上只有剪力，這對剪力將使兩柱分別產生等值反號的軸力，而不使其他桿件產生內力。而原結構中間柱的內力是等于該兩柱內力之代數和，故剪力實際上對原結構的內力和變形均無影響。因此，我們可將其去掉不計，而取一半剛架的計算簡圖如圖3-2d。

3 結語

對稱結構在工程應用中十分廣泛，如斜腿剛架橋、圓管涵、多跨連續梁橋等都是典型的對稱結構，對稱結構在承受對稱荷載或者可以將非對稱荷載轉化為相應的對稱荷載的組合時，可以降低原超靜定結構的超靜定次數，目前，雖然利用計算機輔助工具進行多次超靜定的結構的計算分析，但正確判斷計算軟件計算結果就需要對超靜定結構最基本的計算分析方法有十分深刻的理解和熟練的掌握，合理地判斷產生最大彎矩、剪力和軸力的部位，從而減少計算中對結構中最不利于位置的判斷失誤。

參考文獻

[1]李廉錕.結構力學(第4版)上冊.北京:高等教育出版社.2006，124～149.

[2]劉慶潭.材料力學.北京:機械工業出版社.2003，284～306.

[3]龍馭球，包世華，等.結構力學教程(Ⅰ).北京:高等教育出版社.2001，315～370.