偏微分方程在縣域人口規(guī)劃中運用

摘 要:縣域人口對促進(jìn)縣域經(jīng)濟發(fā)展作用顯著，而偏微分方程對縣域短中期人口規(guī)劃的運用，為二者良性互動提供一個較好的分析視角。

關(guān)鍵詞:人口規(guī)劃 偏微分方程 縣域經(jīng)濟

中圖分類號:U412文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(b)-0251-02

“郡縣治，天下安”，在“十二五”期間，發(fā)展縣域經(jīng)濟意義更是重大。從地位上看，縣域經(jīng)濟是國民經(jīng)濟中具有綜合性的基本單元，在整個國民經(jīng)濟中具有基礎(chǔ)性地位；從功能上看，縣域經(jīng)濟是統(tǒng)籌城鄉(xiāng)發(fā)展、建設(shè)新農(nóng)村的操作平臺，也是發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)、增加農(nóng)民收入的重要載體。在目前行政框架下，縣域連接城鄉(xiāng)、承上啟下，政策、要素、產(chǎn)業(yè)聚集于此，城鄉(xiāng)實現(xiàn)統(tǒng)籌發(fā)展，必須在縣域經(jīng)濟上做好文章。十七屆五中全會再次強調(diào)“發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)、增加農(nóng)民收入，建設(shè)農(nóng)民幸福生活的美好家園”，可見，縣域經(jīng)濟已成為各種政策目標(biāo)的實現(xiàn)載體。另一方面，縣域人口是縣域經(jīng)濟發(fā)展的重要因素，擁有9億人口基數(shù)的農(nóng)村分布在在縣域，縣域人口既可以為縣域經(jīng)濟提供勞動力和市場需求，同時人口總量增長也需要與資源承載力、縮小收入差距直接相關(guān)，在縣域經(jīng)濟發(fā)展和人縣域口容量達(dá)到平衡，必須確定出縣域適度人口，縣域人口規(guī)劃就成為縣域經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略。縣域人口規(guī)劃如何做到既適應(yīng)縣域經(jīng)濟發(fā)展需要，又有利于人口適度增長？偏微分方程為我們提供了分析工具。

1 偏微分方程概述及在人口預(yù)測中一般性運用

偏微分方程是反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實際問題，不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法。在國外，對偏微分方程的應(yīng)用發(fā)展是相當(dāng)重視的，眾多大學(xué)和研究單位都有應(yīng)用偏微分方程的研究集體，并得到國家工業(yè)、科學(xué)部門及軍方、航空航天等方面的大力資助。在我國，偏微分方程的研究起步較晚，總體水平(研究隊伍的組織和水平、研究工作的廣度和深度)與世界先進(jìn)水平相比還有很大的差距。

人口問題(包括人口預(yù)測、人口規(guī)劃、計劃生育等)是學(xué)界和政府比較感興趣的話題，對人口的發(fā)展進(jìn)行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。如馬爾薩斯模型:

其中:表示時刻的人口總數(shù)，為初始時刻時的人口總數(shù)，表示人口凈增長率。該模型在群體總數(shù)不太大時合理性較高，預(yù)測度較高。因為當(dāng)生物群落個體總數(shù)增大時，群內(nèi)個體之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進(jìn)行生存競爭。該模型僅考慮群體總數(shù)的自然線性增長項，未考慮生存競爭對群體總數(shù)增長的逆作用。故群體總數(shù)增大后，馬爾薩斯模型就不能較準(zhǔn)地預(yù)測群體發(fā)展趨勢，此時應(yīng)采用威爾霍斯特模型:

其中，稱為生命系數(shù)，且比要小很多。考慮到生存競爭而引入的競爭項。當(dāng)群體總數(shù)不太大時，由于比小很多，則可略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當(dāng)群體總數(shù)增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產(chǎn)生的影響則不能忽略。

不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡、性別等因素的影響。人口數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還與年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài)。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型:

其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。對于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論:對偏微分方程的初值問題(1)－(3)，如果下列條件成立:

①在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑;

②在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑，并且當(dāng)時，及;

③;

④。

則該初邊值問題(1)－(3)存在唯一的整體解并且滿足且。該模型在經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)后，例如假設(shè)常數(shù)，常數(shù)，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更進(jìn)一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。

2 短中期縣域人口規(guī)劃中偏微分方程運用

近年來，縣域人口發(fā)展出現(xiàn)一些新特點，如，人口老齡化加速（計劃生育政策剛性要求）、出生人口性別比攀升（農(nóng)村重男輕女思想普遍存在），人村人口城鎮(zhèn)化加快（城市化和城鄉(xiāng)統(tǒng)籌戰(zhàn)略），以及人口候鳥式流動頻繁（農(nóng)村富余勞力外出務(wù)工）等，這些特點直接影響著縣域短中期人口增長。

(1)短中期縣域人口規(guī)劃條件的一般假設(shè)

鑒于上述特點，在縣域人口規(guī)劃中，一般假設(shè):縣域社會環(huán)境在一段時間內(nèi)處于安定狀態(tài);在穩(wěn)定的環(huán)境下可以近似的認(rèn)為;在穩(wěn)定的環(huán)境下可以近似的認(rèn)為;只考慮自然的出生于死亡、不計遷移等社會因素影響;所有育齡女性在她育齡期所及的時刻都保持在相同的水平;鎮(zhèn)鄉(xiāng)的老齡化、出生人口性別比、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化水平相當(dāng)。在此假設(shè)下，縣域人口的短中期規(guī)劃要通過給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行城區(qū)(城關(guān)鎮(zhèn)或辦事處)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、自然村的分別預(yù)測(預(yù)測值分別為、、)，縣域人口預(yù)測值為。在縣域人口規(guī)劃中，只進(jìn)行鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口的計算，并用同樣的方法計算出其他兩項的預(yù)測值，為了求解連續(xù)型發(fā)展方程:

，

利用Excel軟件將給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，獲得的函數(shù)表達(dá)式以及定解條件，，得到人口密度函數(shù)，從而求得。利用數(shù)值積分得的值對人口發(fā)展進(jìn)行短中期預(yù)測。

(2)短中期縣域人口規(guī)劃模型的建立

在縣域人口規(guī)劃及增長預(yù)測中，分別求出“城區(qū)(城關(guān)鎮(zhèn)或辦事處)”、“鄉(xiāng)鎮(zhèn)”、“自然村”的人口變化趨勢表達(dá)式，并用三個的和來表示總?cè)丝谧兓厔荨檠芯咳丝谝院蟮淖兓厔荩诖艘肴丝诘姆植己瘮?shù)和密度函數(shù)，時刻年齡小于的人口稱為人口分布函數(shù)，記作，其中均為連續(xù)變量，設(shè)是連續(xù)、可微的。時刻的人口總數(shù)記作，最高年齡記作本題中的值可以看作是90歲。于是對于非負(fù)非降的函數(shù)，有

(1)

人口密度函數(shù)為

(2)

表示時刻年齡在區(qū)間[]內(nèi)的人數(shù)。

記為時刻年齡的人口死亡率，其含義是，表示時刻年齡在[]內(nèi)單位死亡的人數(shù)。

為了得到滿足的方程，考察時刻年齡在[]內(nèi)的人到時刻的情況，他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閇，)，這里，而在這段時間內(nèi)死亡的人數(shù)為。于是

(3)

上式可寫作

注意到就可以得到

(4)

這里人口密度函數(shù)的一階偏微分方程，其中死亡率為已知函數(shù)。方程(4)有兩個定解條件:初始密度函數(shù)記作=;單位時間出生的嬰兒數(shù)記作，稱嬰兒出生率。可以由人口調(diào)查資料得到是已知函數(shù);則對人口預(yù)測起著重要作用，后面將對它進(jìn)行進(jìn)一步分析。將方程(4)及定解條件寫作

(5)

這個連續(xù)型人口發(fā)展方程描述了人口的演變過程，從這個方程確定出密度函數(shù)以后，立即可以得到各個年齡的人口數(shù)，人口分布函數(shù)

(6)

方程(5)的求解過程比較復(fù)雜，這里只給出一種特殊情況下的結(jié)果。在社會安定的局面下和不太長時間內(nèi)，死亡率大致和時間無關(guān)，于是可近似的假設(shè)。這時(5)式的解為

，

， (7)

到此我們就能通過計算出不同時間的人口總數(shù)，公式為

(8)

這樣在(7)式中我們要確定三個函數(shù)表達(dá)式，它們是，，.

在下面的人口增長預(yù)測中，我們要分別求出“城區(qū)(城關(guān)鎮(zhèn)或辦事處)”、“鄉(xiāng)鎮(zhèn)”、“自然村”的人口變化趨勢表達(dá)式，并用三個的和來表示縣域總?cè)丝谝?guī)模及變化趨勢。

綜上，縣域人口規(guī)劃還應(yīng)包括預(yù)測展望、供求分析和對策應(yīng)對等內(nèi)容。在對縣域常住人口變動趨勢作出展望之后，了解人口出生率、人口遷入率、流入率的變動規(guī)律;其次需要根據(jù)不同年齡人口的增長情況分析他們對社會資源的不同需求，并與資源的供給狀況比較，找出現(xiàn)實差距和潛在問題所在，以便政府及早做出安排。

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