實數基本定理的等價性探討

摘 要:在了解傳統論證方法的基礎上，從一種新的角度去認識六個實數基本定理的等價性。介紹了實數系的六個基本定理以及研究現狀和存在問題，并證明這六個實數基本定理的等價性。

關鍵詞:實數基本定理連續性 等價性

中圖分類號:O171文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(b)-0132-01

1 引言

實數系六個基本定理:

定理1:(確界存在定理)有上界的非空數集必有上確界，有下界的非空數集必有下確界。

定理2:(單調有界定理)單調有界數列必有極限。

定理3:(區間套定理)設一無窮閉區間列適合下面兩個條件:(Ⅰ)后一區間在前一區間之內，即對任一正整數，有，(Ⅱ)當時，區間列的長度所成的數列收斂于零，即，則區間的端點所成的兩數列及收斂于同一極限，并且是所有區間的唯一公共點。

定理4:(有限覆蓋定理)若開區間所成的區間集覆蓋一個閉區間，則總可以從中選出有限個區間，使這有限個區間覆蓋。

定理5:(致密性定理)任一有界數列必有收斂的子列。

定理6:(柯西收斂原理)數列有極限的必要與充分條件是:對任意給定的＞0，有一正整數，當時，有。

本文主要研究內容是在傳統的論證方法的基礎上，從一種新的角度去認識六個實數基本定理的等價性。由確界存在定理單調有界定理區間套定理有限覆蓋定理致密性定理柯西收斂原理確界存在定理的循環推證，證明了這六個實數基本定理是等價的。

2 實數基本定理等價性的論證

2.1 確界存在定理單調有界有極限定理

單調有界定理具體可描述為:

若是單調增加的有界數列，則必有極限，且。

若是單調減少的有界數列，則必有極限，且

2.2 單調有界有極限定理區間套定理

證明:數列是單調增加且有上界，數列是單調減小且有下界。由單調有界定理得，數列收斂，即存在，且。同樣，數列也收斂，存在，且。故對任何正整數，有，。又=。

設是它們的同一極限，由，可知是所有區間的一個公共點，且是唯一的。

2.3 區間套定理有限覆蓋定理

證明(用反證法):設是區間的一個覆蓋，但沒有的有限子覆蓋。記，二等分，則必有一區間沒有的有限子覆蓋，記其為。二等分，則必有一區間沒有的有限子覆蓋，記為。如此繼續下去，得到一組實數的閉區間序列。且構成一個區間套，且每個都沒有的有限子覆蓋。則由區間套定理存在唯一的實數，使得。又由上區間套定理的證明可知，其中。故，使得，，即。設，則，所以即有覆蓋。這與沒有的有限子覆蓋的構造矛盾，故必有的有限子覆蓋。

2.4 有限覆蓋定理致密性定理

證明(用反證法):設數列有界，即，且，有，。如果無收斂子數列，則對，使得只有有限個。如果不然，即，對，有中有無限個。選定，再選，使。再取，使。如此繼續下去，便得到的一子數列。令，則有=。

從而，令則顯然，由有限覆蓋定理知，其中。而只包含的有限項。這與矛盾，所以必有收斂子數列。證畢。

2.5 致密性定理柯西收斂原理

證明:①必要性:設在實數系中，數列有極限存在，設，則，，使得只要，有。因此只要，就有。

②充分性:設在實數系中，數列滿足:，，當時，有。事實上是有界的且有極限存在。證畢。

2.6 柯西收斂原理確界存在定理

證明:設是非空實數集的一個上界。因為實數集非空，故任取，有，現把閉區間兩等分，若區間的中點是的上界，則令，=，否則令=，，于是得閉區間，其中也是的上界，且;用同樣的方法對區間處理，將上述過程無限進行下去，于是得一閉區間列，當時有==，由柯西收斂準則知實數列收斂，不妨設。且易知即是的上確界。證畢。

同理可證“有下界的非空實數子集必有下確界”。

3 結語

實數系的這六個基本定理從不同的角度刻畫了實數系的連續性。它們不僅是描述實數系連續性的不同數學表達形式，又是以后函數連續性質證明的理論基礎。本文以單向循環的方式對實數連續性六個定理的等價性進行證明，旨在用完整而簡明的思路說明實數連續性定理的相互等價關系，從而給出認識等價性的一種新視角。

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