淺析函數(shù)的學習

摘 要:函數(shù)是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，高中數(shù)學大部分章節(jié)都涉及函數(shù)或者函數(shù)思想方法，是高中數(shù)學的一條主線。函數(shù)是高中教學的難點和重點，是高考常考的知識和內(nèi)容，函數(shù)的主要內(nèi)容可歸納為對應法則(解析式)、定義域和值域(函數(shù)三要素)，單調性、奇偶性、周期性和漸近性(函數(shù)的四大基本性質)，有界性、連續(xù)性、凸凹性和可導性(函數(shù)的四大重要性質)，圖像、應用等13個問題。

關鍵詞:函數(shù)認知函數(shù)問題如何學習

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(a)-0166-01

函數(shù)是高考的重點，但由于其本身的復雜性，初，高中學生思維方式的轉變困難，以及初高中數(shù)學銜接中的問題，使學生感到函數(shù)的難以掌握，遇到問題時感覺無法下手，或者對問題的考慮不夠全面.函數(shù)的學習成了歷屆學生頭疼的問題，現(xiàn)在我們就來討論一下應該如何學習高中函數(shù)。

1 高中函數(shù)數(shù)學的學習內(nèi)容

首先是函數(shù)概念的學習，在高中階段，我們用映射的觀點去定義函數(shù)，實際上函數(shù)就是一個特殊的映射，是兩個非空數(shù)集之間的映射，所以，我們要注意函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應法則。盡管對應法則是構成函數(shù)的核心，但定義域也是構成函數(shù)的重要組成部分，是構成函數(shù)的三大要素之一，是函數(shù)賴以變化的基礎。函數(shù)定義域的變化對函數(shù)圖像和性質的改變等方面有著不容忽視的制約作用。

函數(shù)還具有多種表示法，如解析法、列表法、圖象法、箭頭法;加強不同表示法之間的聯(lián)系和轉換，使學生學會在面臨一個具體問題時能根據(jù)問題的特點靈活選擇表示的方法，加強函數(shù)與其他數(shù)學知識的聯(lián)系是函數(shù)概念教學的內(nèi)在要求。教材通過例題給出高一某班三位同學在六次測試中的成績及相應的班平均分的數(shù)據(jù)，要求分析三位同學的學習情況。解決這個問題的關鍵就是根據(jù)函數(shù)的表格表示法與圖象表示法的特點，將表格表示轉化為圖象表示。

其次函數(shù)性質的學習，高中函數(shù)的性質主要有單調性，奇偶性，周期性。學習這些性質的時候主要會各個性質的證明，應用。要理解記憶一些結論，如函數(shù)圖像有兩條對稱軸即為周期函數(shù)等，利用圖像掌握這些性質的特點和應用。

再次是函數(shù)和其他知識點的結合，函數(shù)、方程和不等式的綜合。這些題目在選擇題和填空題中有，常在高考數(shù)學的壓軸題中出現(xiàn)。在解答題中把導數(shù)、一元二次函數(shù)、分式函數(shù)、方程、不等式等結合起來，作為函數(shù)綜合題，要求較高。函數(shù)和數(shù)列的綜合。數(shù)列是特殊的函數(shù)，在數(shù)列題目中常常會用到單調性、周期性等，特別是和不等式的結合往往是難點。函數(shù)和解析幾何的綜合。解析幾何主要用到方程的知識，但是在求最值等問題時也常和函數(shù)、不等式等結合，運算量比較大。

2 函數(shù)學習出現(xiàn)問題的原因

函數(shù)在中學數(shù)學中最具復雜性，這是造成學生學習困難的主要因素函數(shù)包含兩個本質屬性(定義域與對應法則)和較多的非本質屬性(如值域、自變量、因變量、集合等);函數(shù)涉及“變量”，而“變量”的本質是辯證法在數(shù)學中的運用;函數(shù)與其他內(nèi)容有錯綜復雜的聯(lián)系。函數(shù)的學習困難與中學生思維發(fā)展水平有關，初中學生的思維是直觀的，而高中函數(shù)的變量，抽象的符號和圖像與函數(shù)的結合都讓學生感覺不知所措。初中生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展開始逐漸占主流。中學生的辯證思維發(fā)展很不成熟，思維水平基本上停留在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、割裂地認識事物;另一方面函數(shù)的特征是發(fā)展的、變化的、與眾多數(shù)學知識相互聯(lián)系的，屬于辯證概念。這個矛盾構成了函數(shù)學習中一切認知障礙的根源。

3 如何學習高中函數(shù)

首先建立起函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。比如，新增加的內(nèi)容“不同函數(shù)模型的增長”和“二分法”，前者通過比較函數(shù)模型的增長差異，后者充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，它是運用函數(shù)觀點解決方程近似解問題的方法之一，通過二分法的學習，能使學生加深對函數(shù)概念本質的理解，學會用函數(shù)的觀點看待和解決問題，逐漸形成在不同知識間建立聯(lián)系的意識。

函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是:遇到變量，構造函數(shù)關系解題;有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析;含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關系;實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，應用函數(shù)性質或不等式等知識解答;等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

其次運用數(shù)學結合的方法，數(shù)形結合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質。恩格斯曾說過:“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學。”數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。在函數(shù)部分運用函數(shù)圖像可以解決函數(shù)的最值問題、單調性、奇偶性、周期性以及函數(shù)與方程、不等式的綜合問題。

再次把函數(shù)和現(xiàn)實生活聯(lián)系在一起，從現(xiàn)實生活中的問題引入函數(shù)概念，比如每天的溫度變化圖，就是變量與變量的關系，通過大量的實例，就建立起了反映變量之間相互依賴關系的概念—— 函數(shù)關系。雖然這樣的描述并不是十分嚴格，但是這是認識函數(shù)關系的重要視角。引導學生認識到，函數(shù)是刻畫日常生活和其他學科規(guī)律的重要數(shù)學模型。在高中數(shù)學中，函數(shù)模型應該占有很重要的地位。我們在任何一個生活情景中都會發(fā)現(xiàn)許多描述規(guī)律的函數(shù)關系。在其他學科描述規(guī)律的函數(shù)關系比比皆是。

總之，函數(shù)是高中數(shù)學一個非常重要的知識，它貫穿整個高中，是高中數(shù)學的一個核心知識。函數(shù)是學生學習的一個重點，也是一個難點，那么在高一開始，就要就培養(yǎng)學生的函數(shù)意識。