關于型矩陣方程的求解方法探討

2011-01-01 00:00:00李兵陳靜索文莉

科技創新導報 2011年1期

摘要:對型矩陣方程，當都是方陣時，但階數不同時，不是方陣。對此情形，用標準型方法討論型矩陣方程的求解問題，并得到兩個重要結論。

關鍵詞:標準型方法矩陣方程若當塊維數矩陣

中圖分類號:O151文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(a)-0206-01

1 有解的一個充分必要條件

命題1:設都是階方陣，有秩為的矩陣，滿足的充分必要條件是有階方陣，使得分別相似于、。

證明:(標準型方法)(必要性)用可逆矩陣左乘、右乘，有(1)

由秩為，可取可逆矩陣，使得，令，則，令，則有

所以取即可。

(充分性)反推回去即可。由條件，存在可逆矩陣，使得

(2)

令代入上式就有，。

由命題1易得有解的一個必要條件:

推論1:若有秩為的矩陣，滿足，則有個相同的特征值(含重數)。

這里是充分條件。另外，關于的解的維數計算，本質上就是[1]中兩個定理，但定理3不是很直觀(其實初等因子和若當塊一一對應，就是若當塊的特征多項式[2])，所以本文改寫了一下，并給出例子來說明。這里僅處理了復數域的情形，對于一般數域類似可以證明，但需要把若當標準型換為有理標準型來推理。

下面給出用標準型方法給出型矩陣方程的求解問題，其中都是方陣。

2 標準型方法

用可逆矩陣左乘、右乘，有，可取可逆矩陣，使得都是若當型，以為新未知矩陣，記為，對方程，將分塊，使行的分法與列的分法相同，列的分法與行的分法相同。在每一小塊上，方程就成為。把的每一小塊仍記為，與分別是與的若當塊，對應的為階。

方程的通解討論，其中為階矩陣。

(1)若，由有解的必要條件的推論1，方程只有零解;

(2)若，等式兩邊減去，就成為，下面求解方程。

其中按行看是單位矩陣的行上推一行(第一行推出去，最后一行補零)，所以是把矩陣往上推一行，最后一行補零;同理，按列看是單位矩陣的列右推一列(第一列補零，最后一列推出去)，所以是把矩陣往右推一列，最第一列補零。令，則，或者，的元素按照主對角線平行斜線(列標—行標=常數)看都是常數，第一列除了左上角的外都是零，最后一行除了右下角的外都是零[3]。

所以的通解可以描述為:

從右上角開始，每一條斜線(列標—行標=常數)上填一個自由變元，一直到該斜線經過左上角或右下角為止，其余元素為零。所以解空間的維數=通解的自由變元的個數=。例如

，

3 的解集作為線性空間的維數計算

設的若當標準型中所有若當塊為的若當標準型中所有若當塊為做一個型矩陣，稱其為維數矩陣[4]，并且按以下規則確定的元素:

如果，那么的元為零;

如果，那么的元為。

4 重要結論

結論1:有非零解的充分必要條件是至少有一個特征值相同。

結論2:的解空間的維數=維數矩陣中所有元素的和。

例如的若當型分別為

，則對應的為