向量內積和外積的四元數教學法

摘 要:利用四元數代數來解釋內積和外積，并證明了關于內積外積的幾個經典定理和等式，使學生更容易接受和理解這兩個常見概念。

關鍵詞:四元數代數內積外積

中圖分類號:G623文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(a)-0144-01

兩個向量之間的內積和外積是高等代數和解析幾何中必須要講的內容，參見文獻[1～3]。內積在有的課本上也被稱為點積，外積則常常被稱為是叉積。在教學中，我們發現學生很容易理解兩個向量的內積。這是因為內積定義為兩個向量的對應坐標相乘再相加，得到的結果是一個實數，比較自然。而兩個向量的外積卻不再是一個實數了，而是一個和這兩個向量都垂直的向量.這樣子進行教學，學生會覺得內積和外積差別很大，內積是數，而外積是向量，二者不具可比性。而單純從名字來看，“內”和“外”是對稱的，是可對比的。那么應該怎樣去教學，才能讓學生真正的理解內積和外積的這種“對稱”呢？

我們發現利用四元數代數來講解內積和外積是一種很好的教學法。我們用R表示實數集合，C表示復數集合，H表示四元數集合。由[2]可知任何一個四元數都可以寫成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a，b，c，d都是實數。d叫做α的實部，ai+bj+ck叫做α的虛部。α的共軛定義為d-ai-bj-ck。

則四元數集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的運算法則是哈密頓給出的

i2=j2=k2=ijk=-1。

從哈密頓的公式可以推出

ij=-ji=k，

jk=-kj=i，

ki=-ik=j。

三維空間中的一個向量都可以寫成α=ai+bj+ck的形式，其中a，b，c分別是x，y，z軸的坐標，I，j，I分別表示x，y，z軸。

我們定義兩個向量α，β的內積為，

α·β=-(βα+αβ)/2

類似的，我們還可以定義兩個向量的外積為，

α×β=-(βα-αβ)/2

根據定義易得α×β=-β×α

我們不難通過檢查坐標的方式來驗證上面關于內積和外積的定義和參考文獻[1]中的一致。通過這種方式來定義內積和外積，學生可以看出內積和外積的差別只不過是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。

下面我們來看看怎樣利用四元數來證明關于內積外積的一些經典的定理，公式。

定理1:[拉格朗日公式]。對任意的向量 α，β，γ，有

α×(β×γ)=(α·γ)β-(α·β)γ

證明：注意到一個實數乘以一個向量，跟這個向量乘以這個實數是相等的，所以

右邊=(β(α·γ)-γ(α·β)+(α·γ)β-(α·β)γ)/2

=-(βαγ+βγα-γαβ-γβα+αγβ+γαβ-αβγ-βαγ)/4

=-(βγα-γβα+αγβ-αβγ)/4

=(1/2)(α((1/2)(βγ-γβ))+((1/2)(βγ-γβ))α)

=左邊，證畢。

這個公式在[1]中是通過分別比較等式兩邊的x，y，z軸的坐標來完成的。我們這個證明的好處是不涉及坐標，非常簡單。

定理2:[雅可比等式]。

α×(β×γ)+β×(γ×α)+γ×(α×β)=0

證明：這就是要證明(αβγ-αγβ-βγα+γβα)+(βγα-βαγ-γαβ+αγβ)+(γαβ-γβα-αβγ+βαγ)=0

這總共有十二項，三個向量的排列只有六種，再加上正負號，正好是十二項，所以兩兩抵消掉了，正好是零，證畢。

如果記[x，y]=xy-yx，則上面的雅可比等式就是

[α，[β，γ]]+[β，[γ，α]]+[γ，[α，β]]=0

這就和[4]中李代數中的雅可比等式從內容到形式完全一致了。

定理3:[混合積公式]。

α×β·γ=β×γ·α=γ×α·β

證明：驗證是很容易的.我們這里只驗證第一個等式。

-4(α×β·γ-β×γ·α)=αβγ-βαγ+γαβ-γβα-βγα+γβα-αβγ+αγβ

=-β(αγ+γα)+(αγ+γα)β

=0證畢

定理4:[拉格朗日恒等式]。

對任意的四個向量α，β，γ，δ，有

(α×β)·(γ×δ)=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)

證明：

(α×β)·(γ×δ)=α·β×(γ×δ)(混合積公式)

=α·((β·δ)γ-(β·γ)δ)(拉格朗日公式)

=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)證畢。

利用四元數來教內積和外積，最大的好處是可以讓學生體會到內積和外積不是什么新的運算，而只不過是數的加減乘除的復合運算。這和利用復數來講解平面向量是完全一致的，學生不會覺得突兀。

參考文獻

[1]丘維聲.解析幾何（第二版）[M].北京大學出版社，1996.

[2]代數學引論(第二版)[M].高等教育出版社，2000.

[3]北京大學數學系集合與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）[M].高等教育出版社，2003.

[4]James E.Humphreys.李代數和表示理論（第二版）[M].Springer-Verlag，1972.