我對四色猜想命題的解讀及證明方法的比較

摘 要:本文透過事物現象，以獨有的視角，對四色猜想命題的實質性問題，包括要解答的問題是什么、地圖不等于平面圖、“兩個數字密碼”、四色區分與分為四色的異同等問題進行了解讀，同時，運用實例將本人的“組合說”證明方法與其他證明方法作比較，讓人們在比較中作出鑒別。

關鍵詞:四色猜想解讀地圖證明方法比較

中圖分類號:O157.5文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)01(a)-0149-03

自2009年10月以來，我在《科技資訊》和《科技創新導報》先后發表了有關研究四色猜想命題(簡稱為“四色命題”)方面的文章。為使人們能真正讀懂和正確理解四色命題，認可“張爾光的‘組合說’”，本文想談談我對四色命題的解讀，并將本人的證明方法與其他證明方法作個比較。

1 我對四色猜想命題的解讀

要破解一個數學命題，首先要讀懂命題，正確解讀命題，才能談得上正確破解命題。要破解四色命題，其道理亦然。

解讀一:四色命題是一個“有設定條件、已知結果、但不知因由”的命題，它要人們作出解答的是“為什么能夠做到”的問題，并非是“能否做到”的問題。事實告訴我們，于1852年弗南西斯·葛斯里提出的四色命題，來自于“無論多么復雜的地圖，只消用四種色調就足以將相鄰區域區分開”(引自《古今數學趣話》第9頁)現象。葛斯里對這個現象(即著色結果)感到不解，并認為這是個數學問題，于是便寫信給他哥哥(數學家)，以求得到數學解答。然而他哥哥也解答不了，他哥哥又寫信給自己的老師德·摩根(大數學家)，請作出解答。老師同樣解答不了……由此看出，葛斯里完全知道四色區分這一著色結果，他提出的命題包含著“相鄰區域不能同著一色”這個前提條件及“完全能夠做到”和“為什么能夠做到”兩層含義，要人們解答的不是“能否做到”的問題，而是“為什么能夠做到”的問題。

解讀二:地圖是四色命題中的一個關鍵詞，地圖與平面圖是兩個截然不同的概念。要破解四色命題，必須讀懂“地圖”這個詞。這里說的“讀懂”，是指要弄清楚地圖的載體是什么、地圖的形成原理、地圖的結構模式以及其區域與區域之間的關系是什么。我對“地圖”是這樣解讀的:所謂“地圖”，是展現在球體表面、由若干區域(國家)組合形成的整體。這個解讀表達了三個意思:(1)球體表面是地圖的載體，研究四色命題時不應漏缺“物體表面”這個要素;(2)地圖是組合的整體，并非是排列的整體;(3)如把“地圖”解讀為“平面圖”(或混為一談)，那肯定是一種誤讀。這有事實為證。事實1，地圖原本是展現在球體表面的圖，平紙上的地圖，只不過是將球體表面的圖“移”到平體表面來展現而已。因此，地球儀上的地圖與平紙上的地圖是有區別的，前者的經緯線是直線，后者的經緯線是弧線。這個“弧線”，既是球體與平體的區別標志，也是地圖與平面圖的區別標志。事實2，同胚體不等于同一體。我們知道，圓形、方形、五角星形都是由一條AB線集合而成的區域，它們之間可拓撲置換，但不是同一體，當它們以“面”出現時，圓形面不等于是方形面、五角星形面。同樣的道理，平體、球體、鉆石體、方體、圓錐體等，其物體表面的全相鄰力均為“L=4”(即只能做到使“4個面”全相鄰)，它們是同胚體，可拓撲置換。這僅是從拓撲學角度來說的。但當它們成為圖的載體時，就有了本質的區別，比如球體與平體，地圖上的經緯線的不同，就是最好的例證;又比如圓錐體與鉆石體，如要將鉆石體表面的圖“移”到圓錐體表面來展現，同時又要將鉆石體12個“棱面”之間的區域與區域之間的關系表達清楚，恐怕不容易做到。可見，當成為圖的載體時，此同胚體不等于彼同胚體，它們之間是有本質區別的。

解讀三:四色命題不是一個僅局限于對“平(球)體表面的圖(即地圖，下同)的僅需著色種數”研究的命題。由于球體表面的圖和平體表面的圖均僅需4色區分，致使人們把球體與平體誤讀為同一體，把兩種物體表面的圖歸之為平面圖，其研究也僅局限于對“平面圖(即平、球體表面的圖)的僅需著色種數”的研究。其實，假如將球體與平體解讀為屬于同胚體的兩個物體，又將環體表面的圖僅需著色種數大于4這個事實聯系起來，那么，四色命題的研究應當包含“為什么同胚體表面的圖其僅需著色種數相同”、“為什么非同胚體表面的圖其僅需著色種數不相同”這兩個子命題的研究。因為，弄清楚了這兩個子命題的同異之“因”，也就找到了“為什么平、球體表面的圖同為僅需4色區分”之因。所以，四色命題不是一個僅局限于對“平(球)體表面的圖的僅需著色種數”研究的命題，其研究的外延應擴伸到對“其它物體表面的圖的僅需著色種數”的研究(這就好比研究地球的生命起源要把研究的外延擴伸到對其它星球的生命研究一樣)。

解讀四:“地圖的區域與區域之間(即圖的面與面之間，下同)的關系是什么關系”，這是四色命題的一個重要“數字密碼”。地圖的區域與區域之間的關系是相鄰關系和非相鄰關系，這是常識問題。但當將這種“相鄰關系和非相鄰關系”用數學數字表達出來時，它是一種什么關系呢。這乃是破解四色命題的一個重要“數字密碼”。因為，事實證明，圖的需用色數的決定因素不是面的數量，而是圖的面與面之間關系。因此，要破解四色命題，就得先將“地圖的區域與區域之間的關系”用數學數字表達出來，方可弄清楚這個數學數字與色數數字之間的內在聯系。這就是“數字密碼”的原因所在。

解讀五:“四色區分”與“分為四色”，兩者“‘分’的等式”相同，只是“‘分’的條件”不同，“地圖為什么僅需四色區分”的依據是四色命題的另一個重要“數字密碼”。為說清楚這個問題，試舉“人”這個例子。我們把“人(N個人)”分為若干群，在沒設定條件下，隨意分為2群、3群、4群……n群人，均為成立。那么，設定以“年齡段”為條件，把“人(N個人)”分為若干群，如設2個年齡段，則可分2群人;如設3個年齡段，則可分3群人;如設4個年齡段，則可分4群人……如設n(n＜N)個年齡段，則可分n群人，均可成立。顯然，兩者“‘分’的等式”相同，均可表示為“n群(人)=”，但兩者“‘分’的條件”不同，前者是隨意分的，后者是以“年齡段”段數為依據的。同樣的道理，在對“四色區分”的理解上，“四色區分”與“分為四色”，兩者“‘分’的等式”相同(均為)，所不同的是“‘分’的條件”，“分為四色”是隨意分法，不受面與面之間關系的條件限制，而“四色區分”是在“相鄰區域不能同著一種顏色”的條件下進行的，是有條件分法。在這里，要指出的，“相鄰區域不能同著一種顏色”是“地圖僅需四色區分”的條件，并不是依據。可知，不論地圖以多少種顏色區分和分為多少種顏色，其區分等式都是成立的，而“地圖僅需四色區分”的依據是一個什么數字，這才是四色命題中真正要破解的“密碼”。又事實告訴我們，2個面相鄰需2色區分，3個面全相鄰需3色區分，4個面全相鄰需4色區分……據此推斷，平、球體表面的全相鄰力能做到使“幾個面”全相鄰，便是“地圖僅需四色區分”的依據，而“物體表面的全相鄰力”是“物體表面的圖僅需著色種數”的依據。本人的研究結果與此推斷完全吻合。

2 本人的證明方法與其他證明方法的比較

就四色命題來說，不同的解讀，其破解的思路和證明方法也不同。有比較才有鑒別。本人的證明方法與其他證明方法，究竟哪一種證明方法才是破解四色命題的正確方法呢？不妨通過比較來鑒別。

2.1 本人的比較法與窮舉法的比較

本人遵循“為什么能夠做到”的思路，應用“同中求同，同中求異，異中異，異中求同”的證明方法求得:一字狀結構的圖，不論其圖的面的數量是多少，僅需2色區分，是在于其圖的相鄰面的組合力為C;梳子狀結構的圖，不論其圖的面的數量是多少，僅需3色區分，是在于其圖的相鄰面的組合力為C;梯子狀結構的圖，不論其圖的面的數量是多少，僅需4色區分，是在于其圖的相鄰面的組合力為C，并進而求得“圖的相鄰面的組合力C的n”與“圖的著色種數S”具有等于關系。那么，依照“能否做到”論者的窮舉法求證，則是，一字狀結構的圖，當其圖的面的數量為3、4、5……n個時，能否做到2色區分;梳子狀結構的圖，當其圖的面的數量為4、5、6……n個時，能否做到3色區分;梯子狀結構的圖，當其圖的面的數量為5、6、7……n個時，能否做到4色區分。無疑，其證明結果必定是“能否做到”四字，但對于“為什么能夠做到”永遠不會有正確答案，也不可能求得“C的n=S”這種關系。

同樣，本人應用比較法求得，平、球體表面的圖不論其圖的面的數量是多少，僅需4色區分，是在于其物體表面的全相鄰力L=4，其圖的相鄰面的組合力為C;環體表面的圖不論其圖的面的數量是多少，僅需5色區分，是在于其物體表面的全相鄰力L=5，其圖的相鄰面的組合力為C;丁環體表面的圖不論其圖的面的數量是多少，僅需6色區分，是在于其物體表面的全相鄰力L=6，其圖的相鄰面的組合力為C，并進而求得“物體表面的全相鄰力”(L)、“物體表面的圖的最高相鄰面的組合力”(C)、“物體表面的圖僅需著色種數”(S)三者關系的定理為:L=C的n=S。那么，依照“能否做到”論者的窮舉法求證，則是，平、球體表面的圖，當其圖的面的數量為5、6、7……n個，又圖的面與面之間關系發生變化時，能否做到4色區分;環體表面的圖，當其圖的面的數量為6、7、8……n個時，能否做到5色區分;丁環體表面的圖，當其圖的面的數量為7、8、9……n個，又圖的面與面之間關系發生變化時，能否做到6色區分。無疑，這得借用機器來證明，其證明結果必定是“能否做到”四字，但對于“為什么能夠做到”永遠不會有正確答案，更不可能通過對各物體表面的圖僅需著色種數的同異原因而求得“L= C的n=S”的定理。

2.2 本人“組合說”證明方法與“兩頂(即“兩點”)連線”的證明方法的比較

本人以圖的形成原理為切入點，求證到圖的面與面之間的相鄰關系和非相鄰關系均為C組合關系，圖的結構模式是C組合模式。“兩頂連線”的證明方法是數學界認可的證明方法。那么，這兩種證明方法哪一種才是四色命題的可靠的證明方法呢？試舉例作證明比較。

如圖1、圖2，是我國高等院校“圖論”教材中有關“著色理論”的兩個例圖。圖1是圖2“加上新邊υ4υ6，υ3υ5，υ5υ7得到的圖”，該書以此證明并得出結論:“添加上新邊只能色數不減，甚至變大。”

圖3是應用“組合說”證明方法將圖1、圖2完整表達后的圖表。

從圖1、圖2與圖3的比較中可知，“兩頂連線”的證明方法對“添加上新邊只能色數不減，甚至變大”的結果未能說出其“所以然”，而“組合說”證明方法對此結果能說出其“所以然”:圖1“添加上新邊”后，雖是相鄰點(即邊)增加了，但其圖的相鄰面的組合力并沒有升降，仍為C，故色數仍為4。

坦誠地說，這不能說“兩頂連線”的證明方法是錯誤的證明方法，而問題是在于應用此證明方法時存在欠缺的地方:其一，圖中表達的內容欠完整，即只表達“兩兩相鄰”關系，不表達“兩兩非相鄰”關系。這只能說是“半個圖”;其二，證明的程序欠完整，即是將面置換為頂(或點)、添加上連接線后，就直接進入證明程序，漏缺了將“兩兩相鄰”關系和“兩兩非相鄰”關系以組合數字完整記錄下來，并循序對號入座到組合模式中去這個程序。正因為如此，不可能證明到圖的結構模式是C組合模式，更談不上從圖的C組合模式中發現更多的東西。誠然，在應用“兩頂連線”的證明方法時，假如表達的內容和證明的程序都是完整的(見圖3)，那么，其證明結果與本人證明方法的證明結果則必是殊途同歸。正因為表達內容欠完整和漏缺了必要的程序，致使應用“兩頂連線”的證明方法對地圖(即四色猜想)的證明，乃是應用拓撲原理創造出新的假象(即平面圖)來證明原來的假象(即地圖)的證明而已。

2.3 本人的五點連接證明圖與K圖的比較

圖4是K5圖，即是五色區分圖。無疑，如按圖4所表達的那樣，圖中的10條線均為連接線，表明5個點全連接，需5色區分。但如將它展現在平體表面，是不可能實現的圖(地圖)。因為，事實證明，平體表面不能做到五個點(面)全連接。

圖5是本人對平體表面不能做到五個點全連接的證明圖。圖中的實線是表示連接線，虛線是表示非連接線。因①與⑤兩個點非連接線，故圖中五個點不能做到全連接，圖的相鄰面組合力為C，需4色區分。

圖4、圖5兩個圖同為由5個點10條線組成，所不同的，圖4的10條線均為實線，圖5的10條線為9條實線、1條虛線。這“1條虛線”之差，就是本人的“組合說”證明方法與“兩頂連線”的證明方法的本質區別。那么，這兩個圖誰的表達是正確的呢？筆者提供兩個實例作為檢驗的參考標準。

實例1:有5個城市彼此交通直達。現以5個點表示5個城市，以實線表示交通線(或公路)，用圖表達出來。可以肯定，圖中10條線必有兩條線交叉通過，亦即必有1條交通線被另1條交通線隔斷。

實例2:將K圖的5個點置換為5個面(即區域)，可以肯定，不論如何變換此5個面的面與面之間的關系，必有兩個面非相鄰。

筆者對“兩點(頂)連線”的證明方法確立了這個規則:兩條連接線不可交叉通過;非連接線與非連接線可交叉通過;非連接線與連接線可交叉通過。

當你對兩個實例得出“肯定”的答案后，你認為這個規則是不是必須遵循呢？

3 結語

在這里，我坦誠地說句真話:“請不要戴著‘圖論’的有色眼鏡、而要以平等的眼光來看本人的證明方法及學術論文，正確比規范更重要。”

科學發展史告訴我們:只有后人發現、糾正前人的錯誤理論，不可能前人發現、糾正后人的錯誤理論。但是，前人的錯誤理論尤其是被公認為正確的錯誤理論，往往容易引領著后人往錯誤的方向走下去。在四色猜想命題的研究上，是不是被一種被公認為正確的前人的錯誤理論引領著？—— 這正是我懷疑的，也是值得大家思考的。