誰(shuí)勝的希望大

提問(wèn)： 在概率學(xué)習(xí)中我碰到了一個(gè)問(wèn)題：在一次游戲中，甲得1分、2分、4分的概率分別為0.4，0.1，0.5；乙得1分、2分、4分的概率分別為0.1，0.6，0.3，以得分多者為勝. 問(wèn)誰(shuí)勝的希望大？

解法1：甲得分的數(shù)學(xué)期望E?孜甲＝1×0.4+2×0.1+4×0.5＝2.6，乙得分的數(shù)學(xué)期望E?孜乙＝1×0.1+2×0.6+4×0.3＝2.5. E?孜甲>E?孜乙，所以甲勝的希望大．

解法2： P（甲勝）=P（甲得2分，乙得1分）+P（甲得4分，乙得1分）+P （甲得4分，乙得2分）=0.1×0.1+0.5×0.1+0.5×0.6＝0.36． 同理，P（乙勝）=0.4×0.6+0.4×0.3+0.1×0.3＝0.39． P（甲勝）

對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，解法1和解法2兩個(gè)結(jié)論不同. 請(qǐng)問(wèn)哪一種解法是正確的？為什么？

回答： 這道題目的題意，是在進(jìn)行一次游戲、以得分多者為勝的情況下，問(wèn)甲還是乙的獲勝機(jī)會(huì)大，解法2是正確的．

為了便于理解這個(gè)問(wèn)題，讓我們嘗試把問(wèn)題中的條件改為：“甲得1分、2分、x分（ｘ＞3）的概率均為；乙每次均得3分．”在這樣的條件下，當(dāng)甲得1分或2分時(shí)，甲就負(fù)于乙，所以每次游戲乙勝的概率為，大于甲勝的概率． 但是數(shù)學(xué)期望E?孜甲和E?孜乙誰(shuí)大誰(shuí)小就不一定了，如果我們調(diào)整x的值，會(huì)得到不同的結(jié)果：E?孜甲=1×+2×+＝1+，E?孜乙=3×1=3，當(dāng)x>6時(shí)，E?孜甲>E?孜乙；當(dāng)x<6時(shí)，E?孜甲

我們?cè)侔褑?wèn)題中的條件改為：“甲得1分、2分、4分的概率分別為0.4，0.1，0.5；乙得1分、2分、4分的概率分別為0.1，x，0.9-x（0E?孜乙時(shí)，P（甲勝）>P（乙勝）；當(dāng)E?孜甲

從上面兩次對(duì)題目條件的改動(dòng)中可以看出：在游戲中對(duì)得分或者概率的取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，對(duì)P（甲勝）和P（乙勝）、E?孜甲和E?孜乙的大小都有可能產(chǎn)生影響．同時(shí)，數(shù)學(xué)期望和獲勝概率的大小關(guān)系，并不是必然的．

那么，究竟什么時(shí)候該用數(shù)學(xué)期望求解，什么時(shí)候又該用概率求解呢？我們?cè)賮?lái)舉一個(gè)實(shí)際的例子. 假設(shè)在一場(chǎng)三局兩勝制的籃球比賽中，甲隊(duì)得1分的概率為，得18分的概率為；……