解答函數題的四大“攔路虎”

一、忽視函數的定義域

例1設函數f（x）=ax2+blnx，其中ab≠0．證明：（1）當ab>0時，函數f（x）沒有極值點；（2）當ab＜0時，函數f（x）有且只有一個極值點，并求出極值．

錯解：（1） f′（x）=2ax+=． ∵ ab>0， ∴ 分類討論如下：當a>0，b>0，x>0時，f′（x）=>0，∴ f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a>0，b＞0，x<0時，f′（x）=<0，∴ f（x）在（-∞，0）上單調遞減. 當a<0，b<0，x＞0時，f′（x）=<0，∴ f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當a<0，b<0，x＜0時，f′（x）=＞0，∴ f（x）在（-∞，0）上單調遞增． 又f′（x）=，x≠0， ∴當ab>0時，函數f（x）沒有極值點．

（2）當ab<0時，f′（x）==＝．令f′（x）＝0，解得x1=-，x2=．

當a>0，b<0時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表所示：

由上表可以看出，函數f（x）應有兩個極小值，分別為f-=-+bln-和f=-+bln．又-<0， ∴ ln-不成立． ∴函數只有一個極小值-+bln．

當a<0，b>0時，同理可得f（x）有一個極大值為f=-+bln．

綜上所述，當ab<0時，函數f（x）有且只有一個極值點．若a＞0，b<0，函數有極小值-+bln；若a＜0，b＞0，函數有極大值-+bln．

錯因分析： 針對函數f（x）＝ax2+blnx，錯解沒有考慮到對數函數中有“真數大于0”這個條件，在解題時擴大了定義域的范圍. 定義域的擴大使分類討論的范圍也擴大了，并導致了之后的一系列錯誤和混亂． 因此，在解函數題時，一定要先求出函數的定義域，然后在定義域的范圍內根據題意求解，否則就容易產生各種錯誤．

正解： （1） f（x）的定義域為x∈（0，+∞）． f′（x）=． ∵ ab>0， ∴ 分類討論如下：當a>0，b＞0時， f′（x）=＞0， ∴ f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a<0，b＜0時，f′（x）=＜0， ∴ f′（x）在（0，+∞）上單調遞減． ∴當ab>0時，函數f（x）沒有極值點．

（2）當ab<0時，f′（x）=．

令f′（x）=0，得x1=-?埸（0，+∞），舍去；x2=．

當a>0，b＜0時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表所示：

從上表可以看出， f（x）有且只有一個極小值f=-+bln．

同理可得，當a<0，b＞0時，函數f（x）有且只有一個極大值f=

-+bln．

綜上所述，當a>0，b<0時，函數f（x）有且只有一個極小值-+bln；當a<0，b＞0時，函數f（x）有且只有一個極大值-+bln．

評注： （1）求出函數的定義域是解決函數問題的先決條件，在不考慮定義域的情況下研究函數是沒有意義的，一定要樹立定義域優先原則．（2）利用導數研究函數的性質是高……