數(shù)列在銀行儲(chǔ)蓄中的應(yīng)用

【摘 要】 數(shù)列計(jì)算靈活多變，數(shù)列又廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)生活中，與我們的生活息息相關(guān)，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決增長(zhǎng)率、利潤(rùn)、利率等問題是一類主要的實(shí)際應(yīng)用問題，本文舉例介紹數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列 銀行儲(chǔ)蓄 利息

Abstract ： The paper mainly discusses the application of sequence in bank savings.

在日常生活中，我們每個(gè)人都要與銀行打交道. 比如，某人存入銀行現(xiàn)金100 元，年利率為10 %（按單利計(jì)） ，經(jīng)過3 年后一次性取出本利和為130 元. 此處的130 元是如何計(jì)算出來的？ 后面將詳細(xì)介紹. 首先介紹幾個(gè)基本概念：在上例中， 100 元叫本金， 指存款帳戶上現(xiàn)有的金額；3 年叫期數(shù)，每期可為年、月、日；130元叫本利和（或終值） ， 指過n 期后， 最終結(jié)算出的本金與利息之和的金額； 10 叫利率， 指一定時(shí)間內(nèi)利息同本金的比率，利率由國(guó)家制定，按時(shí)間長(zhǎng)短不同，有年利率、月利率和日利率。 計(jì)算利息時(shí)，按計(jì)息方式不同，有單利計(jì)息和復(fù)利計(jì)息兩種， 單利計(jì)息指每期都按初始本金計(jì)算利息， 當(dāng)期利息不計(jì)入下期本金， 計(jì)算基礎(chǔ)不變， 復(fù)利計(jì)息指當(dāng)期利息納入下期本金，即以當(dāng)期本利和為計(jì)息基礎(chǔ)， 計(jì)算下期利息。

1.單利和復(fù)利計(jì)息方式下， 利息與本利和的計(jì)算公式

1.1單利計(jì)算公式

設(shè)一筆資金的本金為p 元， 每期利率為i ，若按單利計(jì)算利息，則利息值與本利和F 可按期數(shù)排成下面的數(shù)列：

第1 期末 利息 p·i ， 本利和F1 = p（1+i） ；

第2 期末 利息 p·2i ， 本利和F2 =p（1+2i）；

第3 期末 利息 p·3i ，本利和F3 =p（1+3i） ；

… … …

第n 期末 利息 p·ni ，本利和Fn=p（1+ni）.

不難看出，單利的利息數(shù)列與本利和數(shù)列都是等差數(shù)列，公差都為pi .

其中 利息的通項(xiàng)公式為In= p·i·n ，

本利和的通項(xiàng)公式為Fn= p（1 + ni） .

1.2復(fù)利計(jì)算公式

設(shè)一筆資金的本金為p 元，每期的利率為i ，按復(fù)利計(jì)算利息，則利息值與本利和F 可按期數(shù)排成下面數(shù)列：

第1 期末 利息 p·i ， 本利和F1 = p（1+i） ；

第2 期末 利息 p （1 + i） ·i， 本利和F2= p（1+i）2 ；

第3 期末 利息 p（1 + i）2 ·i， 本利和F3= p（1+i）3 ；

… … …

第n 期末 利息 p（1 + i）n-1 ·i ， 本利和Fn =p（1+i）n .

不難看出，復(fù)利的利息數(shù)列與本利和數(shù)列都是等比數(shù)列，公比都為（1 + i）

其中 利息的通項(xiàng)公式為In= p（1+i）n-1 ·i ，

本利和的通項(xiàng)公式為Fn = p（1+i）n .

2.三種常見的儲(chǔ)蓄方式

2.1活期儲(chǔ)蓄

指存期不變， 可以隨時(shí)存取的一種儲(chǔ)蓄，若存入日期不足1 年， 以具體天數(shù)計(jì)算利息，規(guī)定每年按360 天，每月按30 天計(jì)算存期。

例1 某人存入銀行現(xiàn)金2000 元，年利率為5 %（按單利計(jì)） . 存入日期為8 月12 日， 到期日為11 月10 日（共90 天） . 則該人到期可得利息多少？ 本利和多少？

解：根據(jù)單利計(jì)息方式下的利息公式與本利和公式，得

利息 I = 2000×5 %■ = 25 （元） ，

本利和F = 2000 （1 + 5 %×■ ） = 2025（元） .

2.2整存整取定期儲(chǔ)蓄

指一次存入本金，完成約定存期后一次取出本金及其利息的一種儲(chǔ)蓄。

例2 若存100 元現(xiàn)金， 年利率按復(fù)利9 %計(jì)，計(jì)算5 年后的本利和為多少？

解：根據(jù)復(fù)利計(jì)息方式下的本利和公式，得

F = 100（1+9%）5≈153186 （元） .

2.3零存整取儲(chǔ)蓄

前面討論的活期儲(chǔ)蓄和整存整取定期儲(chǔ)蓄都屬于一次性存入，經(jīng)過一段時(shí)間后再相應(yīng)地一次性支取的款項(xiàng). 而零存整取儲(chǔ)蓄屬于分

期多次存入， 到期一次支取的款項(xiàng)，其中每期間隔時(shí)間相同且每期存入的金額相等的款項(xiàng)稱為年金。

如果每期的年金為p 元， 利率為i，共n期，那么n期的本利和總額叫做年金終值. 按照計(jì)息方式分別為單利和復(fù)利，叫做單利年金終值和復(fù)利年金終值.在年金終值的計(jì)算中，年金存在每期期末（如每期最后一天） 和每期期初（如每期第一天） 是有區(qū)別的，兩者的付款次數(shù)相同， 都是n 次. 但由于付款時(shí)間不同， 在期初存入年金比在期末存入年金要多計(jì)算一期利息.舉例說明。

例3 年初某人計(jì)劃每月底存入銀行100元，月息為01165 % ， 分別按單利和復(fù)利計(jì)息，到年底時(shí)年金終值是多少？

解：此人每月底存款， 到年底的本利和終值數(shù)列為：

（1） 按單利計(jì)算

第1 月存款終值為Q1= 100 （1 + 11× 0.165 %）；

第2 月存款終值為Q2= 100 （1 + 10×0.165 %）；

…

第12 月存款終值為Q12= 100 （1 + 0 ×0.165 %） .

數(shù)列， …， 是公差d = 0.165 ， 項(xiàng)數(shù)n = 12 ，首項(xiàng) a1=Q12= 100 的等差數(shù)列， 由等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式可得年底的年金終值為

F =■Qi= ■ [ 100 + 100 （ 1 + 11×0.165 %） ] = 1210.89 （元） .

（2） 按復(fù)利計(jì)算

第1 月存款終值為Q1= 100（1+0.165%）11 ，

第2 月存款終值為Q2= 100（1+0.165%）10，

…

第12 月存款終值為Q1２= 100（1+0.165%）０

數(shù)列Q1２…，Q2 ， Q１， 是公比q = 1 + 0.165 %= 1.00165 ， 項(xiàng)數(shù)n = 12 ， 首項(xiàng)a1=Q12= 100的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式可得年底的年金終值為

F =■Qi =■ = 1210.95 （元） .

結(jié)束語

除了上面討論的數(shù)列在生活中兩方面的應(yīng)用外，數(shù)列在生活中其他應(yīng)用還有許多. 這是一個(gè)基礎(chǔ)課與專業(yè)課結(jié)合，為專業(yè)課服務(wù)的有益嘗試， 對(duì)于學(xué)生加強(qiáng)基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)、提高解決實(shí)際問題能力有很大的幫助. 同時(shí)隨著人類的不斷進(jìn)步，知識(shí)的不斷擴(kuò)展和更新，將會(huì)有越來越多好的方法以供我們學(xué)習(xí)和研究. 我們只有在以后的工作學(xué)習(xí)中，善加利用已有的知識(shí)，并繼續(xù)探索，以求更新的方法.

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（作者單位：大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）