巖層產狀與其解析式

【摘 要】 野外巖層的產狀，可以由羅盤測出，但野外限于各種條件，也只可以測出大致產狀，甚至，同一地點的巖層，就可以看出由于形變而產狀不同，或巖層面凸凹不平，很難測出巖層的真實產狀。但現在測量手段的發展，使得巖層的產狀，可以從宏觀上測量、計算，結果更接近于實際產狀的平均值，更真實地反映了巖層的空間賦存狀態。

【關鍵詞】 巖層產狀 宏觀測量

Abstract ： The paper mainly discusses the rock produce shape and its analytic expression.

1. 基本空間平面的方程

由空間解析幾何知識可知，任一平面的方程，由不共線的任意三點就可以確定，平面的方程也有一般形式、點法式、截距式等多種：

Ax+By+Cz+D=0（一般式）

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（點法式）

x/A+y/B+z/C=1

式中x、y、z為平面上任一點，A、B、C、D為任意四實數，方程的系數，（x0，y0，z0）為平面內一已知點。一般來說，巖層都不是水平或豎直的，這兩種平面也很容易識別，我們討論的是傾斜的平面，如此我們先看一下上述方程的意義。

1.1一般式。（A，B，C）代表了平面的法線方向，若方程兩邊同除以■，則方化為：ax+by+cz+d=0（1-1）

式中：a=A/■，b=B/■，c=C/■，d=D/■，此時，（a，b，c）為平面法線的方向余弦，|d|為坐標原點到平面的距離。

1.2點法式。其意義更加明確，（A，B，C）代表了平面的法線方向，（x0，y0，z0）為平面內一已知點，（x-x0，y-y0，z-z0）就是（x0，y0，z0）到任一點（x，y，z）的矢量，此矢量與平面法線的矢量內積，即平面點法式方程左側式子，自然等于0。將點法去括號展開，即是一般式。

1.3截距式。x、y、z的分母表示平面在坐標三軸的截距，此不討論過多。

2.巖層的產狀與平面方程

2.1導線產狀與其矢量

為了探討巖層產狀與平面的的關系，先討論空間任意導線矢量的方向余弦。設任意兩點A（XA，YA，ZA）、B（XB，YB，ZB），導線矢量AB與水平面的夾角為傾角β（0≤β≤90°），它在水平面上的投影的方位角（真北方向到它的角度）為α（0≤α<360°），如圖（2-1）：

在地學坐標系中，AB矢量的方向余弦為：

（XB-XA，YB-YA，ZB-ZA）/

=（cosαcosβ，sinαcosβ，sinβ）（2-1）

有時候，我們習慣迪卡爾坐標系，即東西向變為x軸，南北向變為y軸，高程H為第三維z軸（向上為正），此時，AB方向余弦（單位法矢量）為：

（YB-YA，XB-XA，HB-HA）/

=（sinαcosβ，cosαcosβ，sinβ）（2-2）

注意，ZA = - HA。考慮到巖層產狀的量取習慣，如果令AB投影的相反方向方位角為α，傾角同前，則AB在地學坐標系和迪卡爾坐標系中的方向余弦為：

地學：（XB-XA，YB-YA，ZB-ZA）/

=（-cosαcosβ，-sinαcosβ，sinβ）（2-3）

迪卡爾：（YB-YA，XB-XA，ZB-ZA）/

=（-sinαcosβ，-cosαcosβ，sinβ）（2-4）

注：上式（2-1）——（2-4）中， 為AB矢量的長度。

2.2巖層面產狀與其平面方程

如圖2-2，有某巖層面BCD，交水平面于CD，垂直于CD的豎直面交水平面與BCD面于OA、AB，顯然，CD為走向，OA為傾向，α、β為傾向、傾角，圖中已標出。 （OE）為過O點的BCD的法線（各空間關系證明從略）。

要得到巖層面的解析方程，獲取其法矢量是必要的，也是很好方法。如上圖，BCD其法矢量OE的傾角為90-β，其投影方位角為α，依式（2-1）、（2-1），OE的方向余弦在地學坐標系與迪卡爾坐標系中分別為：

地學坐標系：

=（cosαsinβ，sinαsinβ，cosβ）（2-5）

迪卡爾坐標系：

=（sinαsinβ，cosαsinβ，cosβ） （2-6）

這時，可以看出，（2-3）與（2-5）的矢量為正交，（2-4）與（2-6）的矢量正交，即

BCD法矢量已求出，平面解析方程很容易求出。

BCD平面點法方程為：

地學坐標系：（X-XA，Y-YA，Z-ZA）=0（2-7）

迪卡爾坐標系：（Y-YA，X-XA，H-HA）=0（2-8）

注意，ZA = - HA。

展開（2-8）式：

Ysinαsinβ+Xcosαsinβ+Hcosβ

－YAsinαsinβ+XAcosαsinβ+HAcosβ）=0（2-9）

由上式可見，在一般式中系數A、B、C、D分別為：A=sinαsinβ，B=cosαsinβ，C=cosβ，D=-（YAsinαsinβ+ＸＡcosαsinβ+HＡcosβ（2-10）

求水平面上任意點位巖層面的標高有如下方法：

H=-（AY+BX+D）/C （2-11）

有了導線方向余弦和巖層面法線的方向余弦，設若A、B分別為某巖層的頂、底板上的點，那么AB在巖層面法線上的投影，即是巖層的真厚度。也可將任意空間矢量投影到巖層法線方向，獲取其在巖層法線方向的有效長（厚）度。

3.從宏觀上求取巖層面的產狀

一般地，巖層的產狀非理想的平面，產狀總是在變化，有時變化甚大，在一小區域內，就需要有一個平均產狀來衡量本區域的巖層空間賦存狀態，量取多個產狀取平均值固然可行，但局部產狀的權值很難確定，最好的辦法還是從宏觀上控制巖層的產狀，尤其是現代測量手段的方便快捷。方法是，在區域中觀測某一巖層的的出露頭，作其坐標記錄：

X1，Y1，H1

X2，Y2，H2

……

根據三點確定平面的原理（三點以上用最小二乘法或取平均值），很方便得出巖層平面的空間解析方程，由方程可以求出巖層的平均產狀。這相當于已知式（2-9）、（2-10），反過來求α、β。我們知道，平面方程中的系數A、B、C正是平面的法矢量，一般地，令C為正（如果C為負，則A、B、C同取相反數），根據（1-1）求得a、b、c，此時c=cosβ，可得傾角β，參照（2-10）可求得傾向α（0°≤α<360°）。也可以這樣，已知法矢量直角坐標表達式求極坐標表達式，不過一般來說，法矢量的的傾向（指向）正是巖層傾向（除非倒轉巖層），法矢量的傾角（與水平面夾角）與巖層的傾角互為余角。

作者簡介：楊書軍（1976-），男，漢族，河北省邯鄲市人，畢業于石家莊經濟學院，現主要從事測量工作。

郭靜存（1984-），男，漢族，河北省邯鄲市人，畢業于石家莊經濟學院，現主要從事測量工作。

高梅忠（1973-），男，漢族，河北省邯鄲市人，畢業于石家莊經濟學院，現主要從事水工環工作。

（作者單位：河北省地礦局第一地質大隊）