例談三角函數值域

摘 要：研究三角函數式的值域，其解法與求三角函數最值方法相同，這類問題的解決涉及到化歸、轉換、類比等重要的數學思想，采取的數學方法包括易元變換、問題轉換、等價化歸等常用方法。掌握這類問題的解法，不僅能加強知識的縱橫聯系，鞏固基礎知識和基本技能，還能提高數學思維能力和運算能力。

關鍵詞：三角函數;值域;方法

中國分類號：G424 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2010）4-084 -02

三角函數的值域(最值)問題是對三角函數基礎知識的綜合應用，相關題型是各級各類考試的熱點之一，其出現的形式，或者是在小題中單純地考察；或者是隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一，題目給出的三角關系式往往比較復雜，必須進行化簡后，再進行歸納。下就幾個方面，例說三角函數值域的幾種常見求法。

一、反表示法，利用正弦或余弦函數有界性

常見函數的解析式，都是以一個變量表示另一個變量的形式給出，如用y表示x。但是，在很多問題的處理中，我們若能反其道而行之，用解析式中的x或含有x的式子把y表示出來，問題可能處理起來會出奇的簡單。

例[STHZ]1[STBZ] （06安徽卷改編）已知f(x)=sin x-2sin x-1試求其值域

析：條件所給出的函數是關于正弦函數的一個復合函數，用常規方法不易求出其值域。但分析其解析式的組成，只含有正弦，而正弦函數是有界的，那么，能否利用這一點來解題呢？

解：易得：sin x=y-2y-1

又-1≤sin x＜1

故-1≤y-2y-1＜1

解之得：y≥32

二、聯想比較，抓住函數式與公式的相似點，數形結合

數學問題的解決需要多方面的思維能力，其中就包括細致的觀察力與豐富的想象力。有時候解題思路的取得，恰是從題目條件的結構出發，發現條件結構與相關公式定理結構的相似處，然后通過一系列的變形化簡，把它們的形式逐步的靠攏，從而找到解決問題的辦法的。

例[STHZ]2[STBZ] 求函數y=sin x-1cos x-1的值域：

析：本題中的函數解析式由于含有兩個三角函數名稱，故無法用例1中的方法求解。然而考慮到直線斜率的表示形式y=y2-y1x2-x1，與本題中的函數解析式具有某種相似之處，能否以此為突破口呢？

解：設點P，則點P的軌跡是一個單位圓。

sin x-1cos x-1便可以視為點（1，1）與動點P所連直線之斜率。

數形結合易得：y≥0

三、變形拆添，用均值不等式解決相關問題

例[STHZ]3[STBZ] 不等式11-sin x-sin x-a≥0對于任意x∈[WTHZ]R[WTBX]恒成立，試求實數a的取值范圍。

析：恒成立不等式問題也是高考的熱點內容之一，這類問題一般可考慮解出所求范圍變量，把原題中的恒成立問題轉化為函數的最值問題來求解。

解：易得a≤11-sin x-sin x恒成立

即：a≤(11-sin x-sin x)min

而11-sin x-sin x=11-sin x+1-sin x-1≥211-sin x×(1-sin x)-1=1

當且僅當sin x=0，即x=kπ，k∈[WTHZ]Z[WTBX]時取等號。

對于函數y=11-sin x-sin x最小值的求解，這里巧妙借助了函數解析式的結構特點，采取拼湊的辦法，湊成積為定值的兩項，最終用均值不等式解決問題。這種化歸與轉化的思想是很值得我們學習的。

四、利用基本初等函數單調性求值域

例[STHZ]4[STBZ] 已知方程sin x-sin2 x-a=0在x∈[WTHZ]R[WTBX]上有解，試求a的取值范圍。

析：由于方程中的函數名稱僅涉及到正弦，容易想到作如下換元：設t=sin x(t∈[-1，1])，若化歸為二次函數問題，則簡易的多。

解：設t=sin x(t∈[-1，1])

易得：a=t2-t，t∈[-1，1]，

下由二次函數的圖像易得：-14≤a≤2

五、易元變換，整體思想求解

例[STHZ]5[STBZ] 已知函數f(x)=asin x-bcos xx+1在(-∞，0)上有最小值3，試求f(x)在(0，+∞)的最大值。

析：函數解析式含有兩個未知數，根據現有條件，要把解析式解出來是不可能的了。但是，注意到為奇函數，而g(x)=asin x-bcos xx，利用奇函數的相關性質，進行整體代入，可不可以呢？

解：易得：f(x)-1=asin x-bcos xx

設g(x)=f(x)-1

由題意知：g(x)在(-∞，0)有最小值2，

故g(x)在(0，+∞)有最大值-2，

即：在(0，+∞)上，(f(x)-1)max=-2

故(f(x))max=-1

六、合理利用的單調性，解決相關值域問題。

例[STHZ]6[STBZ] （04全國卷改編）設f(x)=sin x+3cos x，x∈[π6，5π6]，試求f(x)值域。

析：對于asin x+bcos x型的函數的值域問題，可以提取系數a2+b2

將之轉化為a2+b2sin(wx+φ)型的函數值域問題。這是三角函數的一個重要值域類型。屬于必須掌握的題型之一。

解：f(x)=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+π3)

而x∈[π6，5π6]

故x+π3∈[π2，7π6]

所以2sin(x+π3)∈[-1，2]

故f(x)值域為[-1，2]。

當然，三角函數的相關值域問題，在高考中，一直以綜合性較強且方法靈活多樣著稱。根據不同類型問題，采用相應的策略，可以有效提高我們的解題效率。除了本文所提及的幾種方法外，還有諸如向量表示法，構造模型法等。限于篇幅，這里便不一一贅述?？偠灾谄綍r的教學過程中，應注重引導學生多思考，多總結，多舉一反三，避免低效率的題海戰術，真正起到減負提效的效果來。