淺談不等式恒成立問題解題策略

摘 要：本文從直接法、轉換主元法、化歸二次函數法、分離參數法、數形結合法介紹不等式恒成立問題的解法。

關鍵詞：不等式恒成立；解題策略

中國分類號：G424 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2010）4-089 -02

近幾年在數學高考試題中經常遇到不等式恒成立問題，這樣的題目一般綜合性強，可考查函數、數列、不等式及導數等諸多方面的知識。同時，培養學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力。下面結合幾例談談恒成立問題的常見解法，供大家參考。

1．直接法

直接求出函數f(x)的最值，再解關于參量的不等式。

例[STHZ]1[STBZ] （08江蘇卷14）對于f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1，1]總有f(x)≥0成立，則a=________。

【解析】：由題意知：[JB({]f(-1)≥0f(1)≥0[JB)]，得[JB({]-a+4≥0a-2＞0[JB)]，得2≤a≤4，

又f′(x)=3ax2-3，令f′(x)=0得x=±1a∈[-1，1]，故f(x)min=min{f(-1)，f(1a)}，

令[JB({]f(-1)≥0f(1a)≥0[JB)]，得[JB({]-a+4≥0a(1a)3-31a+1≥0[JB)]，得[JB({]a≥4a≤4[JB)]，得a=4。

例[STHZ]2[STBZ] 若數列{an}，滿足an=[JB({](λ-)n+1(n≤3)-n2-λn(n＞3)[JB)]，且在n∈N*上{an}是遞減數列，求實數λ的取值范圍。

【解析】：因為{an}是遞減數列，

故（1）當n≤3時，λ＜3，

（2）當n＞3時，an+1＜an恒成立，代入得λ＞-2n-1對任意n∈N*恒成立，

而當n=4時(-2n-1)max=-9，即λ＞-9，

注意到a3＞a4，得λ＞-87，故所求λ∈(-87，3)。

2．轉換主元法

確定題中的主元，化歸成初等函數求解。此方法通常化為一次函數。

例[STHZ]3[STBZ] 若不等式(x2-1)m-(2x-1)＜0對滿足m∈[-2，2]的所有m都成立，求x的取值范圍。

【解析】：原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)＜0

設f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2)

根據題意有：[JB({]f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)＜0f(2)=2(x2-1)-(2x-1)＜0[JB)]即：[JB({]2x2+2x-3＞02x2-2x-1＜0[JB)]

解之得x的取值范圍為-1+72＜x＜1+32

3．化歸二次函數法

根據題目要求，構造二次函數。結合二次函數實根分布等相關知識，求出參數取值范圍。

例[STHZ]4[STBZ] 若不等式x2-2mx+2x+1＞0對任意x∈[0，1]都成立，求實數m的取值范圍。

【解析】：設f(x)=x2-2mx+2x+1則問題等價于函數f(x)在x∈[0，1]的最小值大于0，求m的取值范圍。

(1)當m<0時，f(x)在[0，1]上是增函數，因此f(0)是最小值，

由[JB({]m＜0f(0)=2m+1＞0[JB)]得-12

(2)當0≤m≤1時，f(x)在x=m時取得最小值

由[JB({]0≤m≤1f(m)=-m2+2m+1＞0[JB)]得0≤m≤1

(3)當m>1時，f(x)在[0，1]上是減函數，因此f(1)是最小值

由[JB({]m＞1f(1)=2＞0[JB)]得m>1

綜合(1)(2)(3)得m＞-12

注：當化歸為二次函數后，自變量是實數集的子集時，應用二次函數知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉化為后面的法四求解。

4．分離參數法

在題目中分離出參數，化成a>f(x)（afmax(x)（a

例[STHZ]5[STBZ] （07年天津文10改編)設f(x)是定義在[WTHZ]R[WTBX]上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x2，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，求實數t的取值范圍。

【解析】：由題意知f(x)在x∈[t，t+2]上遞增，注意到2f(x)=f(2x)，

故得x+t≥2x在x∈[t，t+2]上恒成立，即t≥(2-1)x在x∈[t，t+2]上恒成立，

而當x∈[t，t+2]時[(2-1)x]max，令t≥(2-1)(t+2)，得t≥2。

5.數形結合法

將恒成立的不等式問題轉化為一個函數圖象恒在另一函數圖象的上方（或下方），或根據式子的幾何意義畫出圖象，進而利用圖形直觀的給出問題的巧解.

例[STHZ]6[STBZ] 已知對任意實數x，不等式|x+1|≥kx恒成立。求實數k的取值范圍。

【解答】原不等式等價于：對任意的x，函數y=|x+1|的圖像在函數y＝kx圖象的上方恒成立。如圖，只有當直線y=kx的斜率k取區間[0，1]上的任一值時，才有|x+1|≥kx恒成立。故實數k的取值范圍為0≤k≤1。

[TPD1.TIF;X*2，BP]

例[STHZ]7[STBZ] （2002全國高中數學聯賽改編）

設f(x)=x2+2x+1，存在t使得當x∈[1，m]時f(x+t)≤x恒成立，則m的最大值是________。

【解析】：因為f(x)=x2+2x+1的開口向上，而y=f(x+t)的圖象是由y=f(x)的圖象平移|t|個單位得到，y=f(x+t)的圖象在的圖象的下方，且m最大，所以1，m是關于x的方程(x+t+1)2=x的兩根，代入得t=-1或t=-3，檢驗得m=4，即所求的最大值是4

[TPD2.TIF;X*2，BP]

在解綜合性較強的恒成立問題時，有時一題多法，所以要以題為本，關鍵抓住恒成立的實質，具體問題具體分析，不拘泥于一種方法。