巧用直覺思維 尋求解題突破

摘 要：本文以案例說明了在數學解題中巧用直覺思維，取得良好解題突破。

關鍵詞：直覺思維；數學解題

中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-059 -01

在解決數學問題時，一個有創意的設想或者巧妙的解題方法，往往來自于直覺思維。數學學習中的直覺很多時候是由數學問題中的知識特征而引發。在數學問題的多變的形式中隱含著數學知識的某些不變特征。在解數學題時，如果能根據題目里的數學特征進行直覺思維，尋找突破口，往往會收到很好的效果。

1.代數式的特征直覺

很多數學公式有著特有的形式，當數學問題中蘊涵著這些形式時，我們可由此直覺猜想，尋找到突破口，從而找到解決問題的途徑。

例1 已知正數x、y、z滿足x2+y2+xy=1y2+z2+yz=3z2+x2+zx=4，求x+y+z的值。

分析：由于方程組中的三個方程都是。a2+b2+ab=k是的形式，這使我們直覺地想起與此接近的余弦定理a2+b2-2abcos C=c2，只要取C=120°，就有a2+b2+ab=c2。再聯系到x、y、z為正數，于是我們考慮構造三角形來解。把原方程組改寫為

x2+y2-2xycos 120°=12，

y2+z2-2yzcos 120°=(3)2，

z2+x2-2zxcos 120°=22，

由此可作出以1、2為邊長的Rt△ABC，在 Rt△ABC內取一點O，設OA=z，OB=x，OC＝y，使∠AOC＝∠COB＝∠BOC＝120°，由S△AOB+S△COA=S△ABC，得(xy+yz+zx)sin120°＝1×3，即得xy+yz+zx＝2，把原方程組中的各方程相加得 (x+y+z)2＝x2+y2+z2+(xy+yz+zx)＝7，

∴x+y+z＝7。

2.數形特征的直覺

代數中很多知識都有幾何圖形的背景，代數里的公式有的本身就是幾何學里的結論，數形結合是中學數學里的一種重要的思想方法。善于根據數與形之間的關系特征進行直覺突破，往往使我們在解題時得到新穎、簡捷的解法。

例2 正數a、b、c、A、B、C滿足a十A＝b十B＝c +C＝k，求證：aA+bB+cC

分析：兩個正數乘積的最簡單的幾何意義就是把它看作一個幾何圖形的面積。又有a+A＝b十B＝c +C＝k，使我們直覺地感到構造以k為邊長的正三角形進行數形轉化。構造幾何圖形證明如下。

證明：構造以k為邊長的正三角形PQR，分別在三條邊上取點L、M、N，使QL＝A，LR＝a，RM＝B，MP＝b，PN＝C，NQ＝c，由S△LRM+S△MPN+S△PQR，得34aB+34bC+34cA+34k2，

∴aB+bC+cA

3.圖形特征的直覺

在解幾何題時，如果能根據題目的圖形特征進行直覺，往往會收到意象不到的效果。

例3 如圖，P是等邊三角形ABC內一點，PC＝3，PA＝4， PB＝5，求△ABC邊長。

分析：已知條件中有一個明顯的特征，就是三條線段的長是一組勾股數，由這個數組很容易直覺地聯想到直角三角形。我們應設法“集中”這三條線段圍成一個直角三角形，以便揭示出△ABC邊長與已知線段PA、PB、PC的內在聯系。

解：將△ABC繞A點按順時針方向旋轉60°到達△ABC的位置，連結PD，則△ABC為正三角形，AP＝AD＝PD＝4，DB＝PC＝3。在△ABC中，PB＝PC＝3，在△PBD中，BP＝5，由勾股定理逆定理可知，∠PDB＝90°，所以∠ADB＝150°，過A作AM⊥BD交BD的延長線于點M，則∠ADM＝30°，

∴AM＝12AD＝2，DM＝23，故在△AMB中有AB＝AM2+BM2=25+123。