如何理解極限的ε-δ定義及應(yīng)用

摘要極限的概念和思想方法在高等數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位和作用，可以說(shuō)它們貫穿于高等數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，在高等數(shù)學(xué)中，可連續(xù)、可導(dǎo)、可積等概念都是利用極限的-給出的，所以說(shuō)，如果理解了極限的概念，那么在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)與之相關(guān)的定義和問(wèn)題就很容易理解和解決了。在此主要從極限f(x)=a的定義入手來(lái)理解和研究。通過(guò)分析和理解我們形成一種基本的認(rèn)識(shí):“極限是研究變量的變化過(guò)程，并通過(guò)變化的過(guò)程來(lái)把握變化的結(jié)果。”

關(guān)鍵詞極限 定義 無(wú)限接近

中圖分類(lèi)號(hào):O1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 極限的兩個(gè)定義

1.1 定性定義

定義1當(dāng)自變量無(wú)限接近(無(wú)限趨近于)定點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)f(x)值無(wú)限接近于(任意接近于)定值a，那么定值a就稱(chēng)作函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限，記作f(x)=a。

而極限 f(x)=a的定性定義是一個(gè)描述性的定義，在這里只是用“無(wú)限接近(無(wú)限趨近于)”這類(lèi)樸素的形象的語(yǔ)言，對(duì)極限作了定性的描述，這些在數(shù)學(xué)中無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格的論證，其中的“無(wú)限接近”或“任意接近于”該怎么來(lái)理解，什么程度上的接近才是“無(wú)限接近(無(wú)限趨近于)”，對(duì)我們來(lái)說(shuō)，雖然很形象，但又很抽象，感覺(jué)上是那么回事，但又無(wú)法具體表達(dá)出來(lái)。

那么，我們要想理解極限的概念，就要轉(zhuǎn)換思維方式，從距離的角度來(lái)考慮。

不妨將“自變量x無(wú)限接近(無(wú)限趨近于)定點(diǎn)x0”轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)x0的距離│x-x0│是一定范圍之內(nèi)即│x-x0│<就能保證“函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于(任意接近于)定值a”，同時(shí)，將“函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于(任意接近于)定值a”轉(zhuǎn)化為f(x)與a的距離可以任意小，即│f(x)-a│<，其中代表滿足“一定條件”的正數(shù)，這里的“一定條件”是保證“函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于(任意接近于)定值a”;代表可以任意小的一個(gè)正數(shù)，即想讓它有多么小，它就有多么小，從而我們就可以得到極限的定量定義，即:

1.2 定量定義

定義2設(shè)函數(shù)f(x)在空心鄰域U0(x0):0<│x-x0│<有定義。如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論多么小)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式0<│x-x0│<

│f(x)-a│< (1)

那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作

f(x)=a (2)

以上定義可以用符號(hào)表達(dá)為:

f(x)=a>0，E>0，當(dāng)0<│x-x0│<時(shí)，有│f(x)-a│<

2 極限定義的分析

下面我們對(duì)以上用符號(hào)表達(dá)的定義進(jìn)行逐句和逐個(gè)符號(hào)分析，并且理解其中每句的含義和之間的關(guān)系。

我們來(lái)搞明白與E和與兩對(duì)符號(hào)所代表的含義和作用。極限的定量定義中有兩對(duì)新的符號(hào)，與E和與。它們所代表的含義和作用是什么呢?我們下面來(lái)逐一分析和理解。

(1)符號(hào)代表定義中“對(duì)于任意給定的”幾個(gè)漢字，同時(shí)也讀作“對(duì)于任意給定的”，它表達(dá)了兩層意思:“任意”和“給定”，從而就使得緊跟其后的符號(hào)“”就具有了任意性和相對(duì)確定性，也就是說(shuō)，代表想讓它有多么大或小，它就可以多么大或小的正數(shù)，也即你想讓函數(shù)值f(x)與定值a的距離有多大或多小它就可以代表這個(gè)你事先給定的正數(shù)。它所表達(dá)的任意性是主觀上的。后面我們會(huì)舉例說(shuō)明。

(2)符號(hào)E代表的定義中“總存在”這三個(gè)字，同時(shí)也讀作“總存在”或“存在”。它說(shuō)明了其后的符號(hào)所代表的正數(shù)是與事先任意給定的正數(shù)相應(yīng)存在的，也即當(dāng)所代表的正數(shù)確定了以后，也就相應(yīng)確定，與是存在依附關(guān)系的。

(3)是用來(lái)限定函數(shù)值f(x)與定值a的距離，描述函數(shù)值f(x)與定值a的接近程度。為了說(shuō)明函數(shù)f(x)在x→x0的過(guò)程中，能夠任意地接近于a，必須是任意的。這即的第一個(gè)特性——任意性，即是變量;但一經(jīng)給定之后，暫時(shí)就把看作是不變的了。以便通過(guò)尋找，使得當(dāng)0<│x-x0│<時(shí)│f(x)-a│<成立。這即的第二特性——暫時(shí)固定性。即在尋找的過(guò)程中是常量;另外，若是任意正數(shù)，則，2，，…均為任意正數(shù)，均可扮演的角色。也即的第三個(gè)特性——多值性。

(4)是用來(lái)描述和限定自變量x與定點(diǎn)x0的距離的問(wèn)題也即自變量x的取值范圍的問(wèn)題。它的第一個(gè)特性是相應(yīng)性，即對(duì)給定的>0，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，所以是依賴(lài)于而適當(dāng)選取的，為此記之為(x0;);一般說(shuō)來(lái)，越小，越小。但是，定義中是要求由0<│x-x0│<推出│f(x)-a│<即可，故若滿足此要求，則，等等比還小的正數(shù)均可滿足要求，因此不是唯一的。這即的第二個(gè)特性——多值性。

定義中“當(dāng)│x-x0│< 時(shí)，有│f(x)-a│<”的直觀意義是很明顯的，它告訴我們，只要自變量x充分接近定點(diǎn)x0，就可以保證函數(shù)值f(x)充分接近定值a，但是為什么又要“0<│x-x0│”呢?這是因?yàn)楹瘮?shù)f(x)可能在定點(diǎn)x0沒(méi)有定義，其實(shí)同時(shí)也告訴我們函數(shù)f(x)在定點(diǎn)x0有沒(méi)有定義無(wú)所謂，只要在定點(diǎn)x0的鄰域(x0-，x0)∪(x0，x0+ )內(nèi)有定義就可以了，并不影響我們求函數(shù)f(x)在定點(diǎn)x0處的極限。

下面我們定義中的四部分之間的關(guān)系進(jìn)行分析和理解。

第一部分“>0”記為①，第二部分“E>0”(下轉(zhuǎn)第47頁(yè))(上接第44頁(yè))記為②，第三部分“0<│x-x0│<”記為③，第四部分“│f(x)-a│<”記為④，它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

>0，E>0當(dāng)│x-x0│< 時(shí)，有│f(x)-a│<

① ②③ ④

在此我們用分析法和綜合法來(lái)理解這四部分之間的關(guān)系。

我們先來(lái)熟悉一下分析法和綜合法的概念和思想。分析法是從求解的問(wèn)題出發(fā)，正確選擇所需要的所有條件，依次推導(dǎo)，一直到問(wèn)題得到解決的解題論證方法，也稱(chēng)為因果分析。綜合法是從已知數(shù)量之間的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。通俗的說(shuō)，分析法就是從結(jié)果找條件;綜合法是從條件之間的關(guān)系找結(jié)果。兩種方法剛好是互逆的關(guān)系。那么，我們就來(lái)分析極限的定義。

欲使函數(shù)值f(x)與定值a之間的距離│f(x)-a│滿足我們的要求，也可理解為函數(shù)值f(x)與定值a的誤差│f(x)-a│在我們可以接受的范圍之內(nèi)即要求│f(x)-a│<，我們只有通過(guò)限定自變量x的取值范圍即當(dāng)0<│x-x0│< 時(shí)就行，這是就可理解為是依附與而存在的，用分析的方法來(lái)考慮就是，要想得到不等式│f(x)-a│<或許可以說(shuō)要想使不等式│f(x)-a│<成立，只有通過(guò)限定它的自變量x或找到自變量x所滿足不等式0<│x-x0│< 即可，而這是我們可以很容易實(shí)現(xiàn)的，有結(jié)果找到了條件;反過(guò)來(lái)說(shuō)就是，如果自變量x滿足不等式0<│x-x0│< ，那么我們就能保證不等式│f(x)-a│<成立，這時(shí)，我們就用到了綜合法，有條件找到了我們想要的結(jié)果。以上分析可以總結(jié)為:要想得到結(jié)果①，只需找到與之相應(yīng)的條件②，當(dāng)條件③滿足以后，我們就可以得到結(jié)果④。

但是在具體應(yīng)用定義證明相關(guān)極限時(shí)，最困難的是如何通過(guò)結(jié)果│f(x)-a│<找到限定自變量x的，這時(shí)我們就要用到相應(yīng)的放縮法。

3 舉例說(shuō)明

下面我們就來(lái)通過(guò)具體的例題來(lái)說(shuō)明極限的定義和證明時(shí)要注意的問(wèn)題。

例:用極限的定義證明f(x)= =4

證明:這里，函數(shù)在點(diǎn)x=2是沒(méi)有定義的，但是函數(shù)當(dāng)x→2時(shí)的極限存在或不存在與它并無(wú)關(guān)系。事實(shí)上，>0，要使不等式││<成立，只需對(duì)不等式││<進(jìn)行化簡(jiǎn)得││=││=│x-2│<

因此只需取=，那么當(dāng)0<│x-2│<時(shí)，就有││<成立。所以 >0，E>0當(dāng)│x-2│< 時(shí)，有││<，由極限的定義可知f(x)= =4。

通過(guò)對(duì)極限的定義的深入剖析，明白定義中每個(gè)符號(hào)，每個(gè)字都有其深層次的含義，每一部分之間的關(guān)系是那么的緊密，那么富有邏輯性。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版上冊(cè))[M].高等教育出版社，2009:31-35.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版上冊(cè))[M].高等教育出版社，2003:54-56.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].高等教育出版社，1960:71-75.