兩個可乘矩陣的乘積矩陣的特征值關系的討論

摘要本文主要證明了兩個可乘矩陣Am€譶與Bn€譵的乘積矩陣AB與BA的特征值的關系，先從A與B均為n階方陣，且至少有一個矩陣可逆時的特殊情況出發，然后推廣到一般的階方陣，可以得到A與B均為n階方陣時，AB與BA有相同的特征值;最后根據前面討論的結論，得出更一般地情況，得到m階方陣AB與n階方陣BA的非零特征值全部相同，而零特征值的重數相差|n-m|。

中圖分類號:O17文獻標識碼:A

由方陣乘積的行列式，我們知道，當A與B均為n階方陣時，有|AB| = |BA| = |A|·|B|，若A與B為n階對稱矩陣，則|AB - E| = |(AB-E)T| = |BTAT - E| = |BA - E|，所以AB與BA有相同的特征值;A若B與均為n階方陣，且至少有一個矩陣可逆，不妨設矩陣A可逆，則|AB - E| = |A-1| |AB - E| |A| = |A-1(AB - E)A| = |BA-E|。這時我們可以看到，AB與BA有相同的特征值;那么一般地，A與B均為n階方陣時，|AB - E|與|BA - E|是否相等呢?若相等，則AB與BA有相同特征值;更一般地，若A與B不是方陣，設A為m€譶矩陣，B為n€譵矩陣，則A與B可乘。那么m階方陣AB與n階方陣BA的特征值有什么關系呢?

首先我們討論A與B均為n階方陣時的情況。

A與B至少有一個矩陣可逆時，顯然AB與BA有相同的特征值;

若A與B均不可逆，設是AB的一個特征值，下面我們可以證明也是BA的特征值。分兩種情況討論:

(1) 當≠0時:因為是AB的特征值，所以存在非零向量x使得AB·x = x，這里Bx≠0，否則x = A·Bx = 0(x≠0)= 0，這與≠0矛盾。兩邊同時左乘矩陣B，有B·AB·x = B·x (BA)·Bx =Bx ，而Bx≠0是非零向量，這說明Bx是矩陣BA的對應于特征值的特征向量，即也是BA的特征值。

(2)因為A與B均不可逆，所以AB與BA均不可逆，則 = 0即是AB的特征值，也是BA的特征值。所以是AB的一個特征值，也是BA的特征值。

現在的問題是這兩個矩陣的特征值的重數是否相等?即|E - AB| = |E - BA|是否成立呢?

設R(A) = r

所以:|E - AB| = |E - BA|，即A與B均為n階方陣時，AB與BA有相同的特征值。更一般地，當A與B都不是方陣時，設A為m€譶矩陣，B為n€譵矩陣，則階方陣AB與階方陣BA的特征值有什么關系呢?

不妨設n>m，令，

則

則|Bn€譵·Am€譶 - En| =

= |B1A1 - Em| |-En-m| = (-)n-m|B1A1 - Em|

由于A1和B1均為m階方陣，所以由上述方陣的結論可以得到:|Bn€譵·Am€譶 - En| = (-)n-m|B1A1 - Em| = (-)n-m|A1B1 - Em|，又因為Bn€譵·Am€譶 = A1B1，所以，|BA - En| =(-)n-m|AB - Em|所以m階方陣AB與n階方陣BA的非零特征值全部相同，而零特征值的重數相差|n-m|。

例已知ai = 0，求實對稱矩陣

的n個特征值。

(下轉第71頁)(上接第60頁)

解:令，則C = AB，且

由上面的結論可知:|E - AB| = n-2|E - BA|，所以的特征值為:1 = … = n-2 = 0， n-1 = ai2， n = n

參考文獻

[1]吳傳生，王衛華.經濟數學-線性代數.高等教育出版社，2004.

[2]王蓮花.矩陣AB與BA的特征值問題及其應用[J].大學數學，2007(3).