論數學結構和數學理解在高等數學實踐中的作用

【摘 要】數學結構就是用許多的數學知識構成的節點和聯線繪成的穩定系統，數學理解的核心就是對基本概念及其所反映的數學思想方法的理解。數學結構有助于加強數學理解，而數學理解是數學應用在實際中的前提，數學結構和數學理解在高等數學的實踐中都具有非常重要的作用。本文基于數學結構和數學理解的內涵，淺論數學結構和數學理解在高等數學實踐中的作用。

【關鍵詞】數學結構；數學理解；高等數學

一、數學結構和數學理解的內涵

1.數學結構的內涵

結構在數學中無處不在，所謂數學結構就是由許多的數學知識組成的知識節點和連線繪成的穩定結構。概念結構是數學中最基本的結構，它們之間的聯系就組成了知識網絡的結構。高等數學的知識本身就是一個數學結構，對其進行剖析有利于加深學生對數學知識的理解。從結構的建構角度來看，在學習數學概念、原理、原則、法則的時候，若能夠建立起有效的認知結構，那么對于數學理解就能真正上升到一個層面。在建立數學結構時，就需要尋找新舊知識之間的紐帶關系，在心里構建比較準確的概念心理表象。美國哈佛大學教授布魯納的認知結構學習論認為：“知識結構的學習有助于對知識的理解和記憶，也有助于知識的遷移。”在學習的過程中，剖析知識結構可以幫助學生頭腦中的數學結構不斷形成和發展，并將已形成的結構和發展的結構統一起來形成新的知識結構。

2.數學理解的內涵

數學學科有著嚴密的邏輯性，高度的抽象性、系統性以及知識的緊密連貫性等特點，所謂數學理解就是對數學的概念和規律達到理性程度上的認識，不僅要準確能表達出概念和規律，而且還要知道其推理過程，以及與其他數學知識之間的聯系和其用途。數學理解所涉及的內涵是十分廣泛的。主要的核心思想是對數學對象的理解以及從數學的角度來理解現實中的實際問題。陳瓊曾經說過：“數學理解是學習者先認識數學對象的外部特征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯系的動態過程中，打破原有的認識平衡，將數學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數學對象的本質特征及規律，從而達到對數學對象的理解。”因此，數學理解就是數學邏輯和數學智能的平衡。

二、數學結構和數學理解在高等數學實踐中的作用

1.數學結構在高等數學實踐中的作用

著名的認知心理學家皮亞杰曾經說過：“知識是主體與環境或思維與客體相互交換而導致的知覺建構，知識不是客體的副本。也不是有主體決定的先驗意識。”高等數學具有清晰的數學結構，而數學結構是由許多個結構組成的。數學結構把數學知識之間的本質聯系起來，形成一個知識網絡，既有助于數學新知識的引入，又有利于數學知識的掌握。例如，在講解微積分的知識點時，多元函數的極限、連續、偏導數以及微分概念與一元函數中的極限、連續、偏導數以及微分概念之間既有著本質上的聯系，在某些方面又有區別。多元函數的微分概念基于一元函數的微分概念發展起來的，它們之間的聯系就構建成了一個數學結構。積分學中的定積分、不定積分、一重積分、二重積分以及i重積分之間也有著類似的聯系。通過這種聯系。可以把二維空間發展為三維空間，甚至是更多維的空間，從無意識到有意識，從現實世界到虛擬世界，這樣不斷來擴展和更新學生頭腦中的數學結構，使得學生能更好地掌握知識，培養了學生歸納知識以及數學理解的能力。

2.數學理解在高等數學實踐中的作用

所謂數學理解就是由數學基本概念以及其反映出來的數學思想方法的理解。只有建立了一定的理解才能領會到數學邏輯和數學知識所蘊含的精神思想，才能真正理解數學，才能把數學知識變成數學能力。首先，可以通過高等數學結構的錯綜聯系，有意識地在幫助學生建立知識結構的基礎上，來加深學生對數學知識的理解，舉一反三。例如，在講解定積分的概念時，利用曲邊梯形的面積來講解時，可以利用分割、代替、求和以及取極限，最后得出定積分的方法，這一方法也可以用在空間物體的質量、曲線段的質量等問題上。只要學生理解了如何利用曲邊梯形的面積來引入定積分的概念的整個過程，后面的問題就迎刃而解了。只是取極限時是不同的元素趨向于零。其次，只有學生真正理解了數學知識之間的內在聯系和關鍵，才能使學生抓住知識的本質，變被動學習為主動學習，主動去探索知識。建構屬于自己的數學結構。只有這樣，才能使學生學習高等數學的興趣和激情得到提高，增加對高等數學知識的理解，提高高等數學學習的效率和效果。總之，數學理解能增強學生的思維能力、分析問題的能力以及解決問題的能力，大大提高學生學習高等數學的信心。

總而言之，數學結構是高等數學在實踐應用中的關鍵。。它能培養學生遠大的戰略眼光以及將來從事科學研究必備的直覺能力。數學理解是高等數學在實踐應用中的前提，它能增強學生的分析力，提高學生的理解力。有了結構意識才會有結構眼光，有了結構眼光才會有深刻的洞察力和理解，有了深刻的洞察力和理解才會有目標地進行實踐。這正如王國維治學的三重境界。數學結構此乃“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓。望盡天涯路”的第一重境界；數學洞察力和數學理解此乃“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的第二重境界；數學實踐應用此乃“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的第三重境界。

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