淺談數學方法在經濟實踐中的應用

本文就如何將抽象的數學理論應用到具體的經濟實踐中去，促進經濟的發展進行探討。

一、微積分在經濟生活中的應用

微積分的創立是數學發展中的里程碑，它為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。微積分在經濟中的邊際分析、彈性分析、最值分析中有重要的應用，如邊際成本、邊際產出、邊際利潤、消費邊際傾向等，對應的正是相應函數的一階導數;彈性的概念，對應的是相應函數的對數形式的導數;邊際函數，也就是一階導數作為函數來講，其單調性也是很受重視，這是二階導數的用處，等等。還有一類很顯眼的問題就是最優化問題(多半是條件最優化問題)，解決這類問題有很多靠拉格朗日方法、庫恩塔克條件，還有歐拉方程，這些都是經濟的連續分析，是離不開微積分的。

此外，還有規模報酬、貨幣乘數、柯布-道格拉斯生產函數、拉弗橢圓、馬歇爾-勒那條件等無數的經濟概念和原理在充分運用導數、積分、全微分等各種微積分知識的構建，它們極大地豐富了經濟學的內涵，為政府的宏觀調控提供了重要的幫助。

例:某企業對利潤及產品情況進行大量統計分析后，得出總利潤L(元)與每月鏟平x(噸)的關系為L(x)=250x-5x2，試確定每月生產20噸、25噸、30噸的邊際利潤，并作出經濟解釋。

解:首先求出邊際利潤，由已知得L′(x)=250-10x，則L′(20)=50，L′(25)=0，L′(30)=-50。

上述結果表明:每月產量為20噸時，再增加1噸，利潤將增加50元;每月產量為25噸時，再增加1噸，利潤不變;每月產量為30噸時，再增加1噸，利潤將減少50元。

這說明，并非企業生產的產品數量越多，利潤就越多。

二、線性代數在經濟生活中的應用

線性代數的重要性集中體現在計量經濟學中對大量數據的處理上。比如要預測10年后某地區的房屋價格，可通過收集人均收入、土地價格、建筑材料價格等多種變量因素的相關程度，再用線性代數的數學方法解多元線性方程組，得到相應計算公式，并考慮通貨膨脹、利率等現實因素，即可模擬算出10年后該地區的房屋價格。

例:根據某企業產品銷售額(萬元)和銷售利潤率(%)資料計算出如下數據:n=7，∑x=1890，∑y=31.1，∑x2=535500，∑y2=174.15，∑xy=9318。試確定以利潤率為因變量的直線回歸方程，并解釋解釋式中回歸系數的經濟含義。

解:(1)銷售額為自變量 ，利潤率為因變量，則設y依據x的直線方程為:y=ax+b

==0.0365

==-5.41

則利潤率倚銷售額的回歸方程為:y=-5.41+0.0365x

回歸系數b的經濟含義:當銷售額每增加1萬元，銷售利潤率增加0.0365%。

三、微分方程在經濟分析中的應用

微分方程是數學的一個重要分支。利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數關系，預測可再生資源的產量、預測商品的銷售量、分析關于國民收入、儲蓄與投資的關系等問題。

例:在某池塘內養魚，該池塘內最多能養1000尾，設在t時刻該池塘內魚數y是時間t的函數y=y(t)，其變化率與魚數y及100-y 的乘積成正比，比例常數為k>0。已知在池塘內放養魚100尾，3個月后池塘內有魚250尾，求放養t個月后池塘內魚數y(t)的公式，放養6個月后有多少魚?

解:時間t以月為單位，依題意有

是

對方程分離變量且積分，得到:

將代入，得 于是:

，再將 代入，

于是，放養t個月后池塘內的魚數為(尾)

放養6個月后池塘內的魚數為:(尾)

四、概率和數理統計在風險測量中的應用

概率論和數理統計是研究隨機現象的一門科學，風險是指某種行動結果所具有的變動性，財務管理中的一個很重要的概念。

例:某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案:一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大?

解:購買股票的獲利期望是E1=4×0.3+1×1.5+×0.2=1.3

存入銀行的獲利期望是E2=0.8

因為E1>E2，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案。

(作者單位:遼寧省遼陽市第一中等職業技術專業學校)