“集合思想”在代數(shù)中的應(yīng)用

集合的思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。下面我簡(jiǎn)要介紹集合在代數(shù)中的一些應(yīng)用。

一、用集合思想分析充要條件

集合思想早已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域，也就自然地成為探索各種充要條件的基礎(chǔ)。對(duì)于那些可以轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系的充要條件問題，若能用好集合概念，則能簡(jiǎn)化思維過程，提高思維效率。

1.子集、真子集及相等集合關(guān)系中所蘊(yùn)含的充要條件問題。

首先，從子集關(guān)系理解充分條件與必要條件。對(duì)于集合A，B，若A?哿B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件，同時(shí)稱“x∈B”是“x∈A”的必要條件。

其次，將充要條件問題用集合表現(xiàn)出來，是指:

(1)當(dāng)A=B時(shí)，“x∈a”是“x∈B”的充分且必要條件。

(2)當(dāng)A?奐B(A是B的真子集)時(shí)“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件;同時(shí)，“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件。

(3)若上述條件都不成立，則“x∈B”是“x∈A”的既不充分又不必要條件。

2.用集合關(guān)系表述命題條件。

將充要條件問題以集合關(guān)系表現(xiàn)出來，是用集合關(guān)系探究數(shù)學(xué)知識(shí)中各種充要條件問題的基礎(chǔ).對(duì)于條件p與結(jié)論q，若“p真”等價(jià)于集合A={X|P(X)真｝，“q真”等價(jià)于集合B={X|q(X)真｝，則條件p與結(jié)論q的關(guān)系可通過集合之間的集合關(guān)系來表述:

(1)當(dāng)A=B時(shí)，條件p是結(jié)論q的充分且必要條件;

(2)當(dāng)A?奐B時(shí)，條件p是結(jié)論q的充分但不必要條件;

(3)當(dāng)A?勱B時(shí)，條件p是結(jié)論q的必要但不充分條件;

(4)若在上述情況之外，則條件p是結(jié)論q的既不充分又不必要條件。

二、用集合思想分析復(fù)合命題的構(gòu)成

若記A={X|X滿足性質(zhì)p｝，B={X|X滿足性質(zhì)q｝，則可以得到如下結(jié)論:

(1)命題“p或q”即:“X∈A或X∈B”，即X∈A∪B;

(2)命題“p且q”即:“X∈A且X∈B”，即X∈A∩B;

(3)命題“非p”即:“X∈A”，即X∈CA。

例1.分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”形式的復(fù)合命題，并判斷其真假:

p:X=1是a方程x-1=0的解;q:X=-1是方程x-1=0的解。

解p或q:“X=1是方程x-1=0的解或X=-1是方程x-1=0的解”，也可寫成:“X=1或-1是方程x-1=0的解”。因?yàn)閜:X=1是方程x-1=0的解，用集合分析，即﹛1﹜?哿﹛X|x-1=0﹜是真命題，q:X=-1是方程x-1=0的解，用集合分析，即﹛-1﹜?哿﹛X|x-1=0﹜是真命題;p或q:“X=1或-1是方程x-1=0的解”，用集合分析即﹛-1，1﹜?哿﹛X|x-1=0﹜是真命題，符合真值表，所以可以這樣改寫。

三、用集合思想分析方程組的同解

用消元法解方程組的過程是同解變形的過程，但學(xué)生往往對(duì)這種思想方法并不能很好地理解。然而學(xué)習(xí)了集合知識(shí)之后，則很容易理解了。

例2.解二元二次方程組x-y=5x+y=625。

若用集合來分析，做法如下:

解:{(x，y)|x-y=5x+y=625}

={(x，y)|x-y=5}∩{(x，y)|x+y=625}

={(x，y)|x=20y=15或x=-15y=-20}

={(20，15)，(-15，-20)}

學(xué)生對(duì)以上的分析更能理解。

四、用集合思想分析加法原理與乘法原理

在學(xué)習(xí)加法原理與乘法原理時(shí)，如果讓學(xué)生機(jī)械地記憶于完成一件事有n類不同的方法就用加法原理，完成一件事有n步就用乘法原理，是不妥的，用集合來分析理解:所謂n類不同的方法，實(shí)際上就是n個(gè)兩兩不相交的集合，求方法的總數(shù)就是求這個(gè)并集的基數(shù)，故用加法原理;有n步，說明缺一步不可，同時(shí)出現(xiàn)，實(shí)際上表示的n個(gè)集合的交集，求方法總數(shù)當(dāng)然就用乘法原理了。

五、用集合思想分析排列與組合問題題

排列組合綜合題求解時(shí)切忌重復(fù)和遺漏，引用集合來講，則不存在這個(gè)問題。

例3.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一排，甲不站在左端，乙不站在右端，共有多少種排法?

解:設(shè)A={甲站在左端的排列}，B={乙站在右端的排列}，則A∩B={甲站在左端，同時(shí)乙站在右端的排列}，不含條件的排列數(shù)是n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=A+A-A，無附加條件的排列數(shù)是A，故合條件的排列數(shù)是A-(A+A-A)=504。

另外，用集合思想還可以辨析分步計(jì)數(shù)中的重復(fù)錯(cuò)誤。采用分步計(jì)數(shù)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是“重復(fù)”與“遺漏”，其中以重復(fù)最為隱蔽，難以覺察。這是因?yàn)椋植椒桨覆划a(chǎn)生計(jì)數(shù)遺漏，需要的是所有滿足要求的情形都能夠通過它得以實(shí)現(xiàn)，這一般較容易辦到。

六、用集合思想分析互斥事件和對(duì)立事件

互斥事件與對(duì)立事件是概率論中的重要概念。單憑舉例，學(xué)生不容易掌握，如果用集合思想去分析，將是很清楚的，設(shè)幾個(gè)事件分別用集合A，A…A表示;如果這幾個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即一切可能事件都在內(nèi)了，可以用全集I=A∪A∪…∪A表示。對(duì)于其中某二事件例如A，A，若有A∩A=φ，則A，A叫互斥，否則不叫互斥。對(duì)于I=AUAU…∪A，其中任一事件(或組)和剩下的事件(組)構(gòu)成對(duì)立事件，當(dāng)然，首先要互斥。

七、用集合思想理解數(shù)學(xué)歸納法

皮亞諾公理:1.1是一個(gè)正整數(shù)。2.每個(gè)正整數(shù)a都有一個(gè)后繼數(shù)(實(shí)際即a+1)仍是正整數(shù)。3.1不是任何正整數(shù)的后繼數(shù)。4.若a與b的后繼數(shù)相等，則a與b相等。5.設(shè)S是正整數(shù)集合N的子集，若:(1)1屬于S;(2)當(dāng)k屬于S時(shí)，k的后繼數(shù)(實(shí)際即k+1)一定有也屬于S，則S=N。

這幾條公理反映了正整數(shù)集合有序性的本質(zhì)特征。上述公理5也稱為數(shù)學(xué)歸納法原理，它給出了證明一個(gè)集合是正整數(shù)集合的一種方法，是數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)。所以說，用集合思想理解數(shù)學(xué)歸納法是很自然的，因?yàn)闅w納公理是運(yùn)用集合推出的。

總之，用集合思想解代數(shù)中的有關(guān)問題是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法。在代數(shù)教學(xué)中，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生加以應(yīng)用，以提高學(xué)生的解題思維能力。

參考文獻(xiàn):

[1]熊惠民.用集合論觀點(diǎn)辨析分步計(jì)數(shù)中的重復(fù)錯(cuò)誤.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，1-2.

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