近世代數(shù)課程的教學(xué)方法淺探

摘 要: 從近世代數(shù)的課程意義和課程特點(diǎn)出發(fā)，本文作者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，闡述了教師如何在課前、課堂、課后三個(gè)環(huán)節(jié)中用有效的教學(xué)方法來(lái)提高近世代數(shù)的教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞: 近世代數(shù) 教學(xué)方法 教學(xué)效率

近世代數(shù)課程是師范院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，教學(xué)實(shí)踐表明，該課程定理、概念眾多，教材習(xí)題以證明題為主，具有高度抽象性，學(xué)生較難掌握。

1.近世代數(shù)的課程意義和課程特點(diǎn)

近世代數(shù)主要研究具有代數(shù)運(yùn)算的集合:群、環(huán)、域三個(gè)代數(shù)系，是代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞然A(chǔ)數(shù)學(xué)課程所必需的一門(mén)基礎(chǔ)課程。近世代數(shù)不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、計(jì)算機(jī)學(xué)科等。其研究的方法和觀點(diǎn)，對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生了越來(lái)越大的影響。此外，近世代數(shù)中的等價(jià)、劃分、同構(gòu)等思想方法不僅是最重要的數(shù)學(xué)方法之一，而且是觀察和研究自然和社會(huì)的普遍采用的方法。

代數(shù)系的大部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)家根據(jù)現(xiàn)實(shí)中不同的集合和模型抽象創(chuàng)造出的新的理論系統(tǒng)，它具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性。這門(mén)課程主要強(qiáng)調(diào)的不是計(jì)算而是理論的理解和證明完善，對(duì)思維能力的要求較高，它需要學(xué)習(xí)者具有靈活的發(fā)散思維和準(zhǔn)確的聚合思維，需要敏銳的直覺(jué)思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，同時(shí)也需要構(gòu)造性的思路和精練的抽象思維。

2.近世代數(shù)的課程教學(xué)

近世代數(shù)的課程意義和抽象的課程特點(diǎn)給教師提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。那么我們究竟如何組織教學(xué)，才能使學(xué)生輕松愉快地學(xué)習(xí)并掌握該課程的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣，從而在學(xué)習(xí)與思考中達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力的目的?通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，我們覺(jué)得可以從以下幾個(gè)方面嘗試。

(1)課前準(zhǔn)備

教師是教學(xué)過(guò)程中的組織者和實(shí)施者，教學(xué)的關(guān)鍵是教師，這是大家的共識(shí)，而近世代數(shù)是一門(mén)抽象并且高度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，如果教師在課前不認(rèn)真?zhèn)湔n，勢(shì)必影響整體的教學(xué)效果。我們學(xué)校在課程教學(xué)中以選用張禾瑞先生編著的文獻(xiàn)[1]為主，在多年的實(shí)踐中，我們感到這是一本比較經(jīng)典的教材，其內(nèi)容精簡(jiǎn)，只是其中有一些不足之處，例題與習(xí)題較少，與《高等代數(shù)》課程的聯(lián)系不夠緊密，部分?jǐn)?shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)有些陳舊，如正規(guī)子群在其中被稱(chēng)為不變子群等，而國(guó)內(nèi)有不少關(guān)于近世代數(shù)課程方面的教材，有些教材內(nèi)容豐富，但由于課時(shí)和知識(shí)面等原因的限制，教材中不可能一一提到所有概念的背景和來(lái)源，而且由于學(xué)生基礎(chǔ)和接收知識(shí)能力的差異，沒(méi)有一本近世代數(shù)教材是適合所有大學(xué)院校的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生的，因此我們要因材施教，對(duì)教材進(jìn)行大膽的處理和取舍，并不是每個(gè)定理，每個(gè)概念，每一個(gè)證明都需要照著課本向?qū)W生講解。同時(shí)我們要吸取同類(lèi)教材的精華，例如，我們可以將文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]結(jié)合起來(lái)使用，應(yīng)用[1]中的精簡(jiǎn)內(nèi)容，配合使用[2]中的例題。這方面可以舉很多例子，比如在[1]中講環(huán)的概念時(shí)，只舉了一個(gè)例子，那就是全體整數(shù)作成的集合對(duì)于數(shù)的加法和乘法來(lái)說(shuō)做成一個(gè)環(huán)，而后者列舉了七個(gè)環(huán)的例，都是而且這些環(huán)都是學(xué)生曾經(jīng)接觸過(guò)的集合，上課時(shí)講授這些例子可以幫助學(xué)生更好地理解環(huán)的概念。

(2)課堂教學(xué)

在課堂教學(xué)中，如何充分激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵。我們可以從幾個(gè)方面作嘗試。

首先，注重抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。近世代數(shù)課程中許多概念、原理具有很多有機(jī)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將它們進(jìn)行分析比較，既有利于培養(yǎng)舉一反三的遷移能力，又能找出聯(lián)系，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行提綱挈領(lǐng)的講解。例如，在群論中，主要是通過(guò)子群、正規(guī)子群、商群、群同態(tài)來(lái)研究群的結(jié)構(gòu)，而在環(huán)論中，主要是通過(guò)子環(huán)、理想、商環(huán)、環(huán)同態(tài)來(lái)研究環(huán)的結(jié)構(gòu)，其知識(shí)體系是相似的。群和環(huán)都是有代數(shù)運(yùn)算的集合，只是環(huán)比群多了一種代數(shù)運(yùn)算，環(huán)關(guān)于加法構(gòu)成交換群，關(guān)于乘法只能構(gòu)成半群，兩種運(yùn)算之間有分配律聯(lián)系起來(lái)，因此環(huán)關(guān)于加法具有交換群的所有性質(zhì)，關(guān)于乘法只有半群的性質(zhì)。教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)的時(shí)候一定要提醒學(xué)生注意環(huán)有別于群的特殊性質(zhì)，例如環(huán)對(duì)乘法不一定由單位元，每一個(gè)非零元未必有逆元，等等。

其次，在課程講授的過(guò)程中，注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生多問(wèn)幾個(gè)為什么，對(duì)于一些命題，讓學(xué)生思考如果講題設(shè)條件減弱命題是否成立，或者考慮如果將結(jié)論與題設(shè)調(diào)換位置，所得命題是否成立。例如，在[1]中第61頁(yè)習(xí)題1證明一個(gè)循環(huán)群一定是交換群，利用交換群的定義是很容易驗(yàn)證的，我們?cè)谥v授過(guò)程中主要是要提問(wèn)，讓學(xué)生考慮:“那交換群是不是一定是循環(huán)群呢?”“如果是，那該怎么證明呢?如果不是，能不能找出反例呢?”又如習(xí)題4假定G是循環(huán)群，G與H同態(tài)，證明H是循環(huán)群，那我們可以提問(wèn)學(xué)生:“如果G與H同態(tài)，H是循環(huán)群，那么G是不是一定是循環(huán)群呢?”“如果G與H都是循環(huán)群，那么G與H之間是不是一定存在同態(tài)滿(mǎn)射呢?”諸如此類(lèi)的反問(wèn)逆推，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去發(fā)問(wèn)。當(dāng)然在提出問(wèn)題后，教師不能立即自己給出答案，要給學(xué)生思考的時(shí)間，讓學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)，這樣才能起到事半功倍的效果。在進(jìn)行習(xí)題證明講解時(shí)，教師也要引導(dǎo)學(xué)生用盡可能用多種方法進(jìn)行，以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

再次，在實(shí)際教學(xué)中，將理論與應(yīng)用相結(jié)合激發(fā)學(xué)生的興趣。近世代數(shù)中的許多概念都是由于直接或間接刻畫(huà)新的幾何量和物理量的需要而出現(xiàn)的。我們可以盡量調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，舉出豐富多彩的具體實(shí)例，揭示概念的本質(zhì)特征，在形象與抽象之間架起一座橋梁，使學(xué)生不是被動(dòng)地接受這些概念，而是以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)主動(dòng)地構(gòu)建這些概念，即促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的正向遷移。學(xué)生常誤以為學(xué)習(xí)近世代數(shù)課程沒(méi)有用，有時(shí)問(wèn)老師時(shí)，老師也只是以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維概括這門(mén)課程的意義，其實(shí)不然。例如，群論的研究從變換群開(kāi)始，抽象群的概念也是從變換群的概念發(fā)展來(lái)的，而Cayley定理說(shuō)明群概念的外延從同構(gòu)意義上來(lái)說(shuō)并不比變換群的來(lái)得大。因此在講授群的概念時(shí)，教師可以講授這樣的例:設(shè)V是域F上n維線性空間，則V的所有可逆的線性變換對(duì)乘法組成群，它同構(gòu)于F上全體n階可逆方陣組成的乘法群，這是群論與高等代數(shù)的聯(lián)系，考慮平面上正n邊形(n≥3)的全體對(duì)稱(chēng)的集合，它包含n個(gè)旋轉(zhuǎn)和n個(gè)反射(沿n條不同的對(duì)稱(chēng)軸)，很容易看出這個(gè)集合對(duì)于變換的乘法，即變換的連續(xù)施加來(lái)說(shuō)組成一個(gè)群，這是群論與幾何學(xué)的聯(lián)系，而物理學(xué)中在討論晶體類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)性變換過(guò)程中，晶體學(xué)家就是把晶體的全體對(duì)稱(chēng)性變換作為群來(lái)進(jìn)行研究的，這又是群論與物理學(xué)的聯(lián)系，等等。

在講授課程內(nèi)容時(shí)，教師可穿插一些名人趣事小傳等同樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，講授著名的Cayley定理:每一個(gè)群都同構(gòu)與一個(gè)變換群時(shí)，教師可以簡(jiǎn)單介紹Cayley的生平小傳和他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。在文獻(xiàn)[1]中對(duì)于交換群只有一個(gè)簡(jiǎn)單的定義，沒(méi)有詳述，其實(shí)交換群也叫Abel群，是由挪威數(shù)學(xué)家N.H.Abel發(fā)現(xiàn)的，所以以Abel命名，Abel在19歲時(shí)就解決了一個(gè)讓著名數(shù)學(xué)家煩惱了數(shù)百年的難題，證明了雖然一元二次、三次甚至四次方程都有求根公式，但是對(duì)于一般的五次方程卻不存在這樣的求根公式，諸如此類(lèi)的名人軼事在講授相對(duì)應(yīng)的課程內(nèi)容時(shí)讓學(xué)生了解，可以增強(qiáng)學(xué)生探索相關(guān)內(nèi)容的欲望。

(3)教學(xué)后記

備課、上課和作業(yè)批改是教師教學(xué)中幾個(gè)重要的環(huán)節(jié)，而關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是上課。我們都有這種體驗(yàn)，常常備課時(shí)并未想到的或并未思考的問(wèn)題，在上課的過(guò)程中常常就出現(xiàn)了，這也就說(shuō)明了教學(xué)后記的必要性。經(jīng)常的一些創(chuàng)造性思維也通過(guò)教學(xué)后記得以升華，從而更加深刻。

對(duì)于不同的學(xué)生，教學(xué)方法不是一成不變的，教師也應(yīng)該不斷地探索新的方法，讓學(xué)生更好地掌握代數(shù)這門(mén)課程，切實(shí)提高教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn):

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社，1978.

[2]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社，2001.

[3]韓士安，林磊.近世代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社，2004.

[4]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2003.