關于高職數學“復合函數的求導法則”的教學體會

摘 要: 本文通過對高職數學“復合函數的求導法則”的研究，從運算的角度，教學內容、要求、重難點，本章的特點三個方面進行了總結，得出了五個方面的教學體會。

關鍵詞: 高職數學 復合函數 求導法則 教學體會

現行高職數學“復合函數的求導法則”是高職數學中最重要的內容之一。該內容的引入既豐富了高職數學的內容，又體現了復合函數的求導法則作為數學工具的重要性。利用復合函數的求導法則去解決一些實際問題，深化了數學知識間的關聯性和系統性，為更好地學好高職數學奠定了良好的基礎。復合函數的基礎知識較多，且與其他很多部分知識都有聯系，如復合函數與導數的聯系、復合函數與基本初等函數的聯系、復合函數與導數的四則運算的聯系等。因此，教師有必要加強對“復合函數的求導法則”這一章節的進一步研究和總結。

從運算的角度來講，會求復合函數的導數，必先會求基本初等函授的導數，當然關鍵還是要把復合函數進行分解，并牢記中間變量。

例1.求函數y=(1-3x+x)的導數。

解:設y=u，u=1-3x+x，

因為y′=(u)′=5u，u′=(1-3x+x)′=-3+2x，

所以y′=y′u′=5u(-3+2x)=5(2x-3)(1-3x+x)。

例2.求函數y=lntanx的導數。

解:設y=lnu，u=tanx，

因為y′=，u′=secx，

所以y′=y′u′=secx=secx===2csc2x。

從上面的例子可知，運用復合函數求導法則的關鍵在于把復合函數分解成基本初等函數的和、差、積、商，然后應用復合函數求導法則和適當的求導公式進行計算，求導后要把中間變量換成原來自變量的式子。當對復合函數的分解比較熟練后，也可不必再寫出中間變量，只要將中間變量所代替的式子默記在心，直接根據法則，按步驟由外向里逐層求導即可。

例3.求函數y=cot(2x+1)的導數。

解:默記中間變量u=(2x+1)，直接求導，得:

y′=[cot(2x+1)]′=-csc(2x+1)(2x+1)′=-2csc(2x+1)。

例4.求函數y=(x-cosx)的導數。

解:y′=3(x-cosx)(x-cosx)′

=3(x-cosx)[1-2cosx(cosx)′]

=3(x-cosx)(1+2cosxsinx)

=3(x-cosx)(1+sin2x)。

應當注意，有些復合函數能化簡的，應當盡量先化簡再求導，有時還需要綜合運用四則運算的求導法則和復合函數的求導法則。

例5.求下列函數的導數。

(1)y=;

(2)y=。

解:(1)先將分母有理化，得:

y=

=x+。

所以

y′=1+=1+。

(2) 先化簡

y=·=2sec2x

所以y′=2sec2xtan2x(2x)′=4sec2xtan2x。

要想掌握好復合函數的求導法則，學生除了掌握以上復合函數的求導規律外，還得復習求導公式，因為公式也是基礎。

參考文獻:

[1]林益主編.高等數學.面向21世紀全國高校數學規劃教材.北京大學出版社.

[2]盛祥耀主著.高等數學.教育部高職高專推薦教材.高等教育出版社.