因式分解的典型錯(cuò)誤剖析

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。這個(gè)概念表面上看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是，在學(xué)生的作業(yè)與測(cè)試中，我發(fā)現(xiàn)了很多種錯(cuò)誤，經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)誤通常有不按定義分解、分解不徹底、分組不當(dāng)、淺嘗輒止和知難而退等幾種情形。下面，我對(duì)這幾種錯(cuò)誤的類型逐一進(jìn)行分析。

一、不按定義分解

1.局部分解，其余不問(wèn)。

例1.因式分解:a+6a+9。

誤解:a+6a+9=a(a+6)+9

分析:這里致錯(cuò)的原因就是只用提取公因式法分解了問(wèn)題的前面兩項(xiàng)，而后面的部分卻不過(guò)問(wèn)了，這當(dāng)然有違于因式分解的定義。

正解:a+6a+9=a+2×a×3+3=(a+3)

2.所得的因式非整式。

例2.因式分解:x+7x+x。

誤解:x+7x+x=x(1++)

分析:這里致錯(cuò)的原因就是只用提取公因式法分解，而沒(méi)有注意分解后的括號(hào)中的式子不是整式，這當(dāng)然有違于因式分解的定義。

正解:x+7x+x=x(x+7x+1)

二、分解不徹底

例3.因式分解:m-9mn。

誤解:m-9mn=(m+3mn)(m-3mn)

分析:這里致錯(cuò)的原因就是只想到用平方差公式法分解，而沒(méi)有注意分解后的括號(hào)中的式子還可以繼續(xù)分解。或者說(shuō)一開(kāi)始就沒(méi)有提取公因式，這個(gè)步驟上的問(wèn)題直接致使后面錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

正解:m-9mn=m(m-9n)=m(m+3n)(m-3n)

注:講完了提取公因式法和公式法后，教材和輔助練習(xí)提出了許多綜合性的問(wèn)題，既要用提取公因式法又要用公式法，這樣自然加大了學(xué)生解決問(wèn)題的難度。例如這里的m-9mn是一個(gè)綜合性的問(wèn)題，教師在給同學(xué)們教授此類問(wèn)題時(shí)，首先要考慮能否提取公因式，其次要準(zhǔn)確確定最大公因式，否則都會(huì)給解題帶來(lái)不必要的麻煩。這里的公因式為m，若是只提取m，后面還得再提取m。

另外，學(xué)生還極容易做出的錯(cuò)誤結(jié)果為m(m-9n)這就是典型的分解因式不徹底。實(shí)際上括號(hào)內(nèi)是兩項(xiàng)，且正好是平方差的形式，還要看能否寫成兩整式的平方差形式，此題正好可以。故聯(lián)想到平方差公式。

為了避免分解不徹底的問(wèn)題產(chǎn)生，重點(diǎn)要放在提取完公因式后(注:若無(wú)公因式則另當(dāng)別論)各個(gè)括號(hào)中的項(xiàng)數(shù)。若是“兩項(xiàng)”則首先用平方差公式去考慮，若是“三項(xiàng)”則首先用完全平方公式去考慮。

三、轉(zhuǎn)了一圈又回到起點(diǎn)

例4.因式分解:1-16a。

誤解:1-16a=1-(4a)=(1+4a)(1-4a)

=(1+4a)(1+2a)(1-2a)=(1+4a)(1-4a)=1-16a

分析:這里致錯(cuò)的原因就是最后一步又把(1+2a)和(1-2a)的“積”化成了(1-4a)這種差的形式，走了回頭路。正確的解法應(yīng)該去掉最后兩步。這一問(wèn)題只發(fā)生在少數(shù)學(xué)生身上，只要課上重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，課后多加練習(xí)，學(xué)生就能徹底杜絕。

正解:1-16a=1-(4a)=(1+4a)(1-4a)

=(1+4a)(1+2a)(1-2a)

注:像這種首平方、尾平方、減號(hào)在中央的兩項(xiàng)式，就可以直接用平方差公式分解。

四、非恒等變形違背數(shù)理

1.漏項(xiàng)錯(cuò)誤。

例5.分解因式:7ab-a。

誤解:7ab-a=a(7b)=7ab

分析:分解因式與整式運(yùn)算是互逆的式子變形過(guò)程。小學(xué)學(xué)過(guò)乘法分配律，即m(a+b)=ma+mb是整式運(yùn)算，反過(guò)來(lái)ma+mb=m(a+b)就是分解因式。如5x+10y=5(x+2y)同學(xué)們不容易出錯(cuò)，但像本例中的7ab-a就容易出錯(cuò)，所犯錯(cuò)誤是7ab-a=a(7b)=7ab，結(jié)果顯然不對(duì)。說(shuō)到底就是等號(hào)兩邊的項(xiàng)數(shù)不相等，其實(shí)質(zhì)上也就是非恒等變形。這種只用提取公因式法并且提取的還是單項(xiàng)式的問(wèn)題可以告訴學(xué)生們，提取過(guò)后的括號(hào)里的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和原來(lái)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是一樣多的，這樣學(xué)生只要留意一下這一點(diǎn)，基本上是會(huì)杜絕這一類錯(cuò)誤的。

2.不顧結(jié)果硬變形。

例6.因式分解:1-a+a

誤解:1-a+a=9(1-a+a)=a-2×a×3+3=(a-3)

分析:本題的錯(cuò)誤原因是為了把題中的各項(xiàng)系化為整數(shù)，就直接用9去乘了，這樣必然導(dǎo)致原式與后來(lái)式子不相等，違背了恒等變形的數(shù)理。

正解:1-a+a=×9×(1-a+a)

=(a-2×a×3+3)=(a-3)

另解:1-a+a=1-2×1×a+(a)=(1-a)

注:像這種首平方、尾平方、首尾之積二倍中間放的三項(xiàng)式，就可以直接用完全平方公式分解。

五、分組不合理難以繼續(xù)

例7.因式分解:a+2ab-c+b。

誤解:a+2ab-c+b=(a+2ab)+(b-c)

=a(a+2b)+(b+c)(b-c)

分析:誤解主要是因?yàn)榉纸M不合理，直接導(dǎo)致分解了兩步之后無(wú)法再進(jìn)行下去了，關(guān)鍵還是因?yàn)樗悸贩诺貌粔蜷_(kāi)，只考慮了前面。其實(shí)，這類問(wèn)題一般都是先考慮完全平方公式，然后才考慮平方差公式的。本題只要考慮到了這一點(diǎn)，問(wèn)題自然迎刃而解了。

正解:a+2ab-c+b=(a+2ab+b)-c

=(a+b)-c=(a+b+c)(a+b-c)

六、知難而退，淺嘗輒止

例8.證明:四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積與1之和必是一個(gè)完全平方數(shù)。

誤解:首先觀察發(fā)現(xiàn):1×2×3×4+1=24+1=25=5。

于是設(shè)這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n，n+1，n+2，n+3，則有:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=…以下內(nèi)容因?yàn)樘^(guò)復(fù)雜解不下去了。

分析:這里主要是學(xué)生還不能適應(yīng)代數(shù)證明題，并且不能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。其實(shí)，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的代數(shù)式，如果能根據(jù)式子的特征，把其中的某些部分看成是一個(gè)整體，并用一個(gè)新的文字(即新元)代替，使式子得到簡(jiǎn)化，各項(xiàng)的關(guān)系容易看清，便于分解，這種解方程組中常用的方法不妨也借來(lái)一用(“它山之石，可以攻玉”)，往往會(huì)收效很大。

正解:這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n，n+1，n+2，n+3，則有:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n+3n)(n+3n+2)+1

令x=n+3n，

原式=x(x+2)+1=(x+1)=(n+3n+1)

從而得證。

總而言之，在因式分解的過(guò)程中，首先提取公因式，然后考慮用公式，分組分解要合適，結(jié)果必是連乘式。“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”。只要學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)與測(cè)試中，把握這些本質(zhì)性的東西，并能認(rèn)真探究，對(duì)照自己的實(shí)際情況，逐一進(jìn)行練習(xí)，必能熟練掌握因式分解這一重要變形方法，并能靈活運(yùn)用它去解決實(shí)際問(wèn)題。而這些正是和新課標(biāo)所要求的“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”完全一致。