解答高考題的技巧

高考數(shù)學(xué)命題一般遵循對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本能力、綜合能力、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識的考查。在新課標(biāo)的背景下，新思想、新觀a念、新理念貫穿高考命題中。高考命題組努力開發(fā)一些融知識、方法、思想、能力與素質(zhì)于一體的背景新穎、內(nèi)涵深刻、富有新意的原創(chuàng)題型，使數(shù)學(xué)的文化性、應(yīng)用性與理論性能有機(jī)結(jié)合與相互滲透，真正考查出考生的學(xué)習(xí)潛能和個(gè)性品質(zhì)。高考由于時(shí)間緊、容量大、節(jié)奏快，為了避免在某些環(huán)節(jié)出現(xiàn)疏漏，因此考生答題時(shí)要講究策略。

一、注重“理解”

許多數(shù)學(xué)問題不需要“解”，只需要“理解”。

例1.(2009年安徽卷理)設(shè)a

解析:因?yàn)閤=a或x=b為(x-a)(x-b)的解，所以當(dāng)xb時(shí)，f(x)>0。根據(jù)已知圖形，可以排除A、B、D，故選C。

例2.(2009年全國卷Ⅱ理)紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北。現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是()。

(A)南(B)北(C)西(D)下

解析:此題用還原成立體圖形，易得答案是B。

二、看清結(jié)構(gòu)形式

看清所給數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)形式。

例3.(2009年湖南卷理)設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f(x)=f(x)，f(x)≤KK， f(x)>K取函數(shù)f(x)=2-x-e。若對任意的x∈(-∞，+∞)，恒有f(x)=f(x)，則()。

(A)K的最大值為2 (B)K的最小值為2

(C)K的最大值為1 (D)K的最小值為1

解析:由題意可知f(x)≤K恒成立，所以只需要求f(x)的最大值即可，令f′(x)=e-1=0，解得x=0，分析得f(0)=1既是極大值又是極小值，故K≥1。所以選D。

例4.(2009年遼寧卷理)某店一個(gè)月的收入和支出總共記錄了N個(gè)數(shù)據(jù)a，a，…，a，其中收入記為正數(shù)，支出記為負(fù)數(shù)。該店用右邊的程序框圖計(jì)算月總收入S和月凈盈利V，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的()。

(A)A>0，V=S-T

(B)A<0，V=S-T

(C)A>0，V=S+T

(D)A<0，V=S+T

解析:輸入x=-2<0，h=0.5，所以當(dāng)x=-2，-1.5，-1時(shí)，輸出y=0;當(dāng)x=0時(shí)，輸出y=0;當(dāng)x=0.5時(shí)，輸出y=0.5;當(dāng)x=1，1.5，2時(shí)，輸出y=1。此時(shí)x=2結(jié)束。所以輸出各數(shù)的和為0.5+1+1+1=3.5。所以應(yīng)選B。

三、明確表達(dá)方式

明確所給數(shù)學(xué)問題在數(shù)與形，題設(shè)與結(jié)論等方面的表達(dá)方式。

例5.(2009年江蘇卷)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ為常數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[-π，0]上的圖像如圖所示，則ω=?搖?搖?搖?搖。

解析:由題圖可知函數(shù)的最小正周期為，因此=，因此ω=3。

例6.(2009年北京卷理)點(diǎn)P在直線l:y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x于A、B兩點(diǎn)，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“ 點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是()。

(A)直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”

(B)直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”

(C)直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”

(D)直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“點(diǎn)”

解析:本題主要考查考生的閱讀與理解、信息遷移和學(xué)習(xí)潛力，考查考生分析問題和解決問題的能力。明確題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解。

如圖，設(shè)A(m，n)，P(x，x-1)，則B(2m-x，2n-x-2)，

∵A、B在y=x上，

∴n=m2n-x+1=(2m-x)

消去n，整理得關(guān)于x的方程x-(4m-1)x+2m-1=0(1)

∵Δ=(4m-1)-4(2m-1)=8m-8m+5>0恒成立，

∴方程(1)恒有實(shí)數(shù)解，∴應(yīng)選A。

四、考查背景情境

考查數(shù)學(xué)的知識背景、生活背景。

例7.(2009年湖北卷理)設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t)。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑()。

(A)成正比，比例系數(shù)為C

(B)成正比，比例系數(shù)為2C

(C)成反比，比例系數(shù)為C

(D)成反比，比例系數(shù)為2C

解析:由題意可知球的體積為V(t)=πR(t)，則c=V′(t)=4πR(t)R′(t)，由此可得=4πR(t)，而球的表面積為S(t)=4πR(t)，所以球的表面積的增長速度v=S′(t)=[4πR(t)]=8πR(t)R′(t)，即v=8πR(t)R′(t)=2×4πR(t)R′(t)=R′(t)=，故選D。

例8.(2009年江蘇卷)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題:

(1)若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β;

(2)若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行;

(3)設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直;

(4)直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直。

上面命題中，真命題的序號?搖?搖?搖?搖(寫出所有真命題的序號)。

解析:由定理我們很容易知道(1)(2)是正確的。(3)中α內(nèi)有一條直線垂直于l，不能判定線面垂直，更不能判定面面垂直。(4)中直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直。

五、分析研究方法

解決問題需要分析研究方法，比如要用到實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、歸納、等研究方法。

例9.(2009年福建卷理)函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a≠0)的圖像關(guān)于直線x=-對稱。據(jù)此可推測，對任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f(x)]+nf(x)+p=0的解集都不可能是()。

(A){1，2} (B){1，4} (C){1，2，3，4} (D){1，4，16，44}

解析:當(dāng)解集為4個(gè)元素時(shí)，兩個(gè)元素為一組，必須滿足兩組的平均數(shù)相等，易知C項(xiàng)符合，而D項(xiàng)不符合，故選D。

例10.(2009年浙江卷理)觀察下列等式:

C+C=2-2，

C+C+C=2+2，

C+C+C+C=2-2，

C+C+C+C+C=2+2

……

由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論:對于n∈N，C+C+C+…+C=?搖?搖?搖?搖。

解析:這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有(-1)，二項(xiàng)指數(shù)分別為2，2，因此對于n∈N，C+C+C+…+C=2+(-1)2。

六、探究設(shè)問角度

探究所給數(shù)學(xué)問題的設(shè)問角度。

例11.(2009年山東卷理)設(shè)雙曲線-=1的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()。

(A)(B)5(C)(D)

解析:雙曲線-=1的一條漸近線為y=x，由方程組y=xy=x+1消去y，得x-x+1=0，有惟一解，所以△=()-4=0，所以=2，e====，故選D。

例12.(2009年江西卷理)一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個(gè)平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為τ，τ，τ，τ，則下列關(guān)系中正確的為()。

(A)τ>τ>τ (B)τ>τ>τ(C)τ>τ>τ(D)τ>τ>τ

解析:前三個(gè)區(qū)域的周率依次等于正方形、圓、正三角形的周長和最遠(yuǎn)距離之比，所以x=2，x=π，x=3第四個(gè)區(qū)域的周率可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正六邊形的周長與它的一對平行邊之間的距離之比，所以x=2，則x>x>x>x，選C。

參考文獻(xiàn):

[1]童其林.新高考.江蘇教育出版社，2009.