切線問題,關(guān)鍵是切點(diǎn)

切線問題是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用的常見問題，解切線問題的關(guān)鍵是切點(diǎn)。下面我分析了幾例試題以說明切線問題的一般求解策略，供大家教習(xí)時(shí)參考。

一、已知切點(diǎn)

例1.(2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)高考三模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P(0，1)在曲線C:y=x-x-ax+b(a、b為實(shí)數(shù))上，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y=2x+1，則a+b=?搖?搖?搖?搖。

分析:本題已知點(diǎn)P(0，1)為切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，f(x))處的切線的斜率是f′(x)，以及切點(diǎn)在曲線y=f(x)上，聯(lián)立方程組，即可確定a、b的值，從而求出(a+b)的值。

解:∵f′(x)=3x-2x-a，P(0，1)為切點(diǎn)，

∴f′(0)=2f(0)=1，∴-a=2b=1，∴a+b=-1。

評注:對于已知切點(diǎn)的問題，要充分利用好切點(diǎn)的三個(gè)幾何性質(zhì):①曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，f(x))處的切線的斜率是f′(x);②切點(diǎn)在曲線y=f(x)上;③切點(diǎn)在切線上。只要抓住這幾點(diǎn)，切線問題就迎刃而解了。

二、已知切點(diǎn)的橫坐標(biāo)

例2.(2010高考北京卷18)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x+x(k≥0)，求:

(Ⅰ)當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程;(Ⅱ)略。

分析:本題雖然只給出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，但當(dāng)k=2時(shí)，f(x)的解析式已知，從而可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出該點(diǎn)處的切線的斜率，最后由點(diǎn)斜式寫出直線方程。

解:當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=ln(1+x)-x+x，代入x=1，得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，ln2)。又∵f′(x)=-1+2x，∴所求切線的斜率k=f′(1)=，∴所求切線方程為y-ln2=(x-1)，即3x-2y-3+2ln2=0。

評注:對于已知切點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題，往往根據(jù)切點(diǎn)既在曲線y=f(x)上又在切線上這個(gè)性質(zhì)確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就化歸為例1的問題了。

三、未知切點(diǎn)，設(shè)而求出

例3.(2010南京高考三模)設(shè)直線y=-3x+b是曲線y=x-3x的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值是?搖?搖?搖?搖。

分析:本題沒有給出切點(diǎn)坐標(biāo)，但切點(diǎn)仍是解決本題的關(guān)鍵，故需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后然后代入切線方程即可求出b值。

解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x-3x)，∵y′=3x-6x，∴3x-6x=-3，解得x=1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)，代入方程y=-3x+b，得b=1。

評注:求切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，往往采用待定系數(shù)法，設(shè)切點(diǎn)時(shí)，也要注意技巧，可以利用切點(diǎn)既在已知曲線上又在切線上的性質(zhì)，用一個(gè)參數(shù)設(shè)坐標(biāo)，這樣可以減少方程(組)中元的個(gè)數(shù)，從而更快地求出切點(diǎn)坐標(biāo)。

四、未知切點(diǎn)，設(shè)而不求

例4.(2008高考湖北卷)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x+2ax，g(x)=3alnx+b，其中a>0。若兩曲線有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，試用a表示b。

分析:設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，抓住公共點(diǎn)處的切線相同，利用切點(diǎn)的三個(gè)幾何性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于x、y的方程，再消去x、y，進(jìn)而求出a、b的關(guān)系。

解:設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為(x，y)，由題意知兩曲線在(x，y)處的切線相同。∵f′(x)=x+2a，g′(x)=，

∴f(x)=g(x)，f′(x)=g′(x)

∴x+2ax=3alnx+bx+2a=，

由x+2a=得x=a或x=-3a(舍去)。

將x=a代入方程x+2ax=3alnx+b，

可得b=a+2a-3alna=a-3alna。

評注:在兩曲線公共點(diǎn)處的公切線，表明了該點(diǎn)的多重身份，它同在兩曲線上，兩函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值均相等，這是處理公切線問題的關(guān)鍵。

通過上述幾個(gè)例題我們不難體會(huì)到，切點(diǎn)在求解切線問題中的重要作用。抓住切點(diǎn)，熟練運(yùn)用切點(diǎn)的三個(gè)幾何性質(zhì)，是解決切線問題關(guān)鍵。

五、有興趣的讀者可以嘗試下面問題

1.(2010高考江蘇卷)函數(shù)y=x(x>0)的圖像在點(diǎn)(a，a)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，k為正整數(shù)，a=16，則a+a+a=?搖?搖?搖?搖。

2.(2009高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P在曲線C:y=x-10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為?搖?搖?搖?搖。

3.(2008高考江蘇卷)直線y=x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b=?搖?搖?搖?搖。

【答案】

1.解析:因?yàn)閥′=2x，所以在點(diǎn)(a，a)處的切線斜率為2a，所以在點(diǎn)(a，a)處的切線方程為y-a=2a(x-a)。

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=，所以a=，a+a+a=16+4+1=21。

2.解析:設(shè)P(x，x-10x+3)，因?yàn)閥′=3x-10，所以3x-10=2，解得x=±2。又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，所以x=-2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2，15)。

3.解析:設(shè)P(x，lnx)，因?yàn)閥′=，由=得x=2，故切點(diǎn)為(2，ln2)，代入直線方程得ln2=×2+b，所以b=ln2-1。