單位向量在解題中的應用

平面向量在中學數學中扮演著極為重要的角色。其中單位向量是向量的一個重要概念，下面我通過舉例來談一談它的一些簡單應用。

一、單位向量的概念

向量為單位向量?圳||=1;對于任一個非零向量，則向量為與方向相同的單位向量。

二、舉例說明單位向量在解題中的應用

例1.(2003年江蘇高考題)O是平面上一定點，點A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ(+)，λ∈[0，+∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()。

(A)外心 (B)內心 (C)重心 (D)垂心

解:表示向量方向上的單位向量，表示向量方向上的單位向量;因此向量+的方向與∠BAC的平分線同向。

又λ∈[0，+∞)，所以向量λ(+)的方向與向量+的方向相同。

因為，-=λ(+)，所以向量=λ(+)，

故P的軌跡一定通過△ABC的內心。

例2.(2005年天津高考題)在直角坐標系xoy中，已知點A(0，1)和B(-3，4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2，則=?搖?搖?搖?搖。

分析:如圖，在向量方向、向量方向分別取單位向量、，則=，=，于是+e與共線，=λ(+)=λ(+)=λ(-，)(λ≥0)，由||=2，得λ=，所以=(-，)。

評注:角平分線問題，往往可聯系到構造單位向量，利用單位向量會使問題解決更簡單明了，且成為解題的新途徑。

例3.(1999年全國高考題)給定定點A(a，0)和直線l:x=-1，B是直線l上的動點，∠BOA的平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程。

分析:如圖，設B(-1，y)，C(x，y)，則=(a+1，-y)，=(x-a，y)，由A、B、C三點共線，得(a+1)y+y(x-a)=0，

即y=y ①

又OC為∠AOB的平分線，所以=，

得=

即x=yy-x ②

由①、②消去y，化簡即得所求。

已知非零向量，則與方向相同的單位向量可以表示為。由此，非零向量、的夾角cosθ=可以寫成cosθ=·，該公式可以作這樣理解:兩非零向量、向量的夾角的余弦值等于與、方向相同的兩個單位向量的數量積，這結果還說明向量的夾角與該向量的長度無關。