基于導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的思維策略

摘 要: 本文通過對(duì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，以及函數(shù)不等式中的應(yīng)用進(jìn)行分析，拓展了數(shù)學(xué)解題方法的研究領(lǐng)域，開辟了許多新的解題途徑，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的理解和直觀認(rèn)識(shí)。文中還提出了利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題可以采用創(chuàng)造性思維、聯(lián)想思維及化歸思維等幾個(gè)主要的思維策略。

關(guān)鍵詞: 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)函數(shù) 不等式 思維策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師充分利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的辯證思維教育，使學(xué)生能以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的變化率，為解決函數(shù)極值問題提供更有效的途徑、更簡(jiǎn)潔的手段，加深對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的理解和直觀認(rèn)識(shí)。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)能充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思維能力是導(dǎo)數(shù)教學(xué)的核心。我首先通過一些具體的實(shí)例來說明導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題中的巧妙應(yīng)用，然后在此基礎(chǔ)上提出了利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的幾個(gè)主要思維策略。

一、導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。

例1:求函數(shù)f(x)=xe的單調(diào)區(qū)間，其中a∈R。

注意到f(x)中含有超越函數(shù)e，并且參數(shù)a是未知的。因此，如果僅僅利用函數(shù)的定義，該問題很難解決。下面利用導(dǎo)數(shù)的方法，就使得該問題變得十分簡(jiǎn)單。

解:簡(jiǎn)單計(jì)算可知f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2xe+axe=(2x+ax)e。

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若x<0，則f′(x)<0;若x>0，則f′(x)>0。另外注意到f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù)，所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)為增函數(shù)。

(2)當(dāng)a>0時(shí)，由2x+ax>0，解得x<-;由2x+ax<0，解得-0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，-)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[-，1)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)為增函數(shù)。

(3)當(dāng)a<0時(shí)，由2x+ax>0，解得0-。又函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間[0，-)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[-，+∞)內(nèi)為減函數(shù)。

本問題通過巧妙地利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)性，并結(jié)合分類討論思想把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較易解決的問題，從而更直觀地發(fā)掘問題的本質(zhì)。

2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值中的應(yīng)用。

例2:已知函數(shù)f(x)=ax+bx-3x在x=1和x=-1處取得極值，討論f(1)與f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值。

如果只把思維限于極值的定義及證明方法的小范圍內(nèi)，那么解決該問題就有一定的困難。但是如果充分利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，則該問題就會(huì)變得比較容易。

解:注意到f′(x)=3ax+2bx-3，則由依題意可知，f′(1)=f′(-1)=0，

即3a+2b-3=03a-2b-3=0

解得a=1，b=0。

進(jìn)而得f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1)。

令f′(x)=0，得x=1或x=-1。若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，則f′(x)>0，進(jìn)而得f(x)在區(qū)間(-∞，-1)∪(1，+∞)上是增函數(shù)。若x∈(-1，1)則f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間(-1，1)上是減函數(shù)。綜上可得f(-1)=2是極大值，而f(1)=-2是極小值。

題目所給的函數(shù)是一個(gè)三次函數(shù)，而用極值的定義與判斷三次函數(shù)的極值問題往往難以解決。這里我們通過引入導(dǎo)數(shù)，使得題目變得比較容易解決。

3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)不等式中的應(yīng)用。

函數(shù)不等式的證明方法很多，比如作差法、作商法、綜合分析法及數(shù)形結(jié)合法等。但有些不等式利用這些經(jīng)典的方法難以解決，或者證明起來比較繁瑣。此時(shí)，如果巧妙地利用導(dǎo)數(shù)法，將會(huì)使問題變得十分簡(jiǎn)單。

例3:已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xln(x)。求證:當(dāng)0

證:由g(x)=xln(x)可知g′(x)=ln(x)+1

令F(x)=g(a)+g(x)-2g()，則有F′(x)=g′(x)-2[g()]′=lnx-ln。因此，當(dāng)0a時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，進(jìn)而可得F(x)在(a，+∞)內(nèi)為增函數(shù)。綜上可知，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a)。

另外注意到F(a)=0，b>a，F(xiàn)(b)>0，即有0

再令G(x)=F(x)-(x-a)ln2，

則G′(x)=ln(x)-ln(a+x)。

因此，當(dāng)x>0時(shí)G′(x)<0，故G(x)在(0，+∞)內(nèi)為減函數(shù)。又因?yàn)镚(a)=0，且b>a，所以有G(b)<0，即G(a)+g(b)-2g()<(x-a)ln2。

本題把函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式融為一體，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值與單調(diào)性，使得該不等式證明起來比較簡(jiǎn)便，而且思路清晰。

二、基于導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的思維策略

從以上分析可以看出導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用。在利用導(dǎo)數(shù)解決不同類型的數(shù)學(xué)問題時(shí)，盡管所用的思路不完全相同，但是有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即在待解決的數(shù)學(xué)問題與導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)之間架起一個(gè)聯(lián)系的紐帶。因此，學(xué)生在掌握基本知識(shí)的同時(shí)，更要注重解題思維能力的培養(yǎng)和提高。下面針對(duì)導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，給出一些解題思維策略。

1.培養(yǎng)觀察力，注重創(chuàng)造性思維方法。

觀察是思維的觸角，是發(fā)現(xiàn)問題、引發(fā)思維的重要途徑。沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更談不上創(chuàng)造。所以，在解題過程中要有目的、持久地進(jìn)行觀察力的培養(yǎng)。敏銳的觀察力才是巧妙解題的基本。

2.培養(yǎng)想象力，注重聯(lián)想思維方法。

充分的想象有助于揭示某些被掩蓋的特征，使思維產(chǎn)生聯(lián)動(dòng)性，從而發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論與條件之間的關(guān)系。所以為了能充分地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，首先要把想象力激活起來，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)能力的飛躍和突破。

3.培養(yǎng)類比模擬思維，注重探索性思維。

類比是依據(jù)兩個(gè)或兩類問題之間存在的某些相同或相似的特征，推出其他相同或相似的特征的思維方法。因此，在利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先要利用探索性的思維方法，找到導(dǎo)數(shù)與所解問題的相似或相同之處，從偶然發(fā)現(xiàn)的關(guān)系中剝離出解決問題的核心。

4.培養(yǎng)發(fā)散思維能力，注重發(fā)散性思維。

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，只有充分利用發(fā)散思維，使思維不拘泥于一個(gè)途徑、一種方法，而是從各種可能的設(shè)想出發(fā)，才能有效地找出導(dǎo)數(shù)與所解問題的關(guān)系。加強(qiáng)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，是利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的重要環(huán)節(jié)。

5培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思維能力，注重化歸思維。

通過轉(zhuǎn)化思維，我們可以把一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題，使問題變得相對(duì)簡(jiǎn)單、清晰。在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)要多層次、多方位地進(jìn)行思考，進(jìn)而打破傳統(tǒng)程序，擺脫思維定勢(shì)的束縛，才能有效地找到需求解問題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題。

三、結(jié)語

加強(qiáng)思維方法的培養(yǎng)是巧妙利用導(dǎo)數(shù)解題的關(guān)鍵。因此，在求解數(shù)學(xué)問題過程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力尤為重要。我通過對(duì)導(dǎo)數(shù)在不同類型數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進(jìn)行分析，提出了一些利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的思維策略。總之，我認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是利用導(dǎo)數(shù)解數(shù)學(xué)問題的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)。

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基金項(xiàng)目:本文由廣西自然科學(xué)基金(2010GXNXSFB 013051)，河池學(xué)院研究生科研啟動(dòng)基金(2008QS-N014)，以及河池學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目(院科研)[2007]2號(hào))資助。