《數學分析》教學中的若干反例

摘 要: 本文研究了《數學分析》課程教學中若干命題，通過提供相應反例，揭示了命題的真實含義，這有助于學生更好地掌握《數學分析》這門課程中的相關概念、定理。

關鍵詞: 《數學分析》 命題 反例

《數學分析》是數學科學學院各專業最重要的一門基礎課程，也是學生感覺比較難的一門課，這里的難主要因為學生對數學分析思想和方法的不適應，課程中的概念抽象、定理證明繁雜。只靠死記硬背，一般學生無法準確掌握概念、定理的實質，必須從正反兩方面去理解。舉反例是構造法中的一種常見的方法，它體現了數學中的發現、化歸、猜想等思想。通過舉出一些命題的反例，我們可以更加深刻地理解這些命題的本質所在。

數學命題并非一定為真，要判定一個命題為真，必須通過嚴格的證明;而要判定一個命題為假，只需找出一個符合命題假設條件而結論不真的例子就可以了。構造反例不像作出證明那樣有清晰可循的邏輯路徑，常給人一種不可捉摸的感覺，它是一項積極的、創造性的思維活動，是一個探索發現的過程。從數學的發展史和平常數學教學的過程中，我們發現，構造反例和直接作出證明起著同樣重要的作用。構造反例，有助于學生認識數學真理、強化數學基礎、培養創新能力。參照文獻[1—5]，針對《數學分析》課程教學中若干似是而非的命題，我們給出反例，借此突出反例在《數學分析》課程教學中的重要作用。

1.有關無窮小量的命題

極限概念貫穿整個《數學分析》課程中。函數的連續性、可導性，定積分的概念，重積分、曲線積分、曲面積分的概念等均通過極限給出定義，而其中最基本的是一元函數極限的概念。

在一元函數求極限的教學中，特別是在有關極限四則運算的證明中，無窮小量的性質起著重要作用。其中有一條性質是:有限個無窮小的乘積還是無窮小。從函數極限的定義出發，大部分學生都能順利自行完成該性質的理論證明。但隨后問題出來了:為什么性質只針對有限個無窮小相乘?對無限個無窮小的乘積，是否仍為無窮小?一般學生肯定認為此性質對無限個無窮小相乘也成立，因為作乘積的無窮小越多，該乘積趨向于零的速度就越快。這種認識當然是錯誤的，下面我通過舉例說明。

首先給出無窮乘積的概念。設{x}，{x}，…，{x}是可列個數列。對任意固定的n，令P=x·x·…·x，如果P存在，則稱P=P(N=1，2，…)為{x}，{x}，…，{x}的無窮乘積。設當N→∞時，x，x，…x都是無窮小量，如果x·x·…·x=P存在，則稱P為無限個無窮小量的積。

設x=1，nn時，x=1，所以P=··…··…·1=。又=≥>1，故P=∞，從中可知無限個無窮小的乘積可以是無窮大。

通過以上的反例，我們得到一個結論:無限個無窮小的乘積不一定是無窮小。對大部分學生來講，之所以會產生“無限個無窮小的乘積為無窮小”的直觀想法，在于他們對有限個無窮小的乘積仍為無窮小的命題證明的本質理解不深。在針對有限個無窮小的乘積證明中，我們可以在有限個正數中取到最小(或最大)一個正數，而針對無限個正數，其正下確界(或上確界)我們無法保證它的存在。因此，上述反例的給出，可以進一步加深同學對函數極限的理解。

2.有關二元函數中值定理的命題

多元函數的學習是一元函數學習的進一步擴展和深化，它既有一元函數的一些性質，又與一元函數有著截然不同的地方。特別是在可微與偏導、偏導與連續、累次極限與重極限、累次積分與重積分、曲線與曲面積分等關系上有著諸多的難點。《數學分析》課程教學進行到多元函數階段，學生常感學習吃力。在一元函數的教學中，微分中值定理起著重要作用，多元函數也有相應的中值定理:“設二元函數f在凸開域D?奐R上連續，在D的所有內點都可微，則對D內任意兩點P(a，b)，Q(a+h，b+k)∈intD，存在某θ(0<θ<1)，使得f(a+h，b+k)-f(a，b)=f(a+θh，b+θk)h+f(a+θh，b+θk)k。”

定理中要求D為凸開域。那么，倘若D是矩形區域，定理結論是否仍然成立?下面我們舉例說明此時不能保證對矩形區域D上任意兩點P、Q定理結論成立。

對函數f(x，y)=驗證其在D=[-1，1]×[0，1]上中值定理是否成立。對于(-1，0)，(1，0)∈D，令a=-1，b=0，取h=2，k=0，則a+h=1，b+k=0，

由中值定理得:f(1，0)-f(-1，0)=2f(2θ-1，0)=0

又f(x，y)=，(x+y≠0)，2f(2θ-1，0)=0，須x=0

但是，==，因而=1，=-1

即f(x，y)在原點不存在。因此，雖然f在D內處處連續且可微，但它在原點的兩個偏導數都不存在。故不存在θ，使f(2θ-1，0)=0，從而在點(0，0)中值公式不成立。

通過以上反例，我們得到結論:對矩形區域D上任意兩點P、Q定理結論不成立。該反例說明，二元函數中，定理條件的重要性與多元函數在區域內部可微并不能保證它在邊界上偏導的存在性。

綜上所述，根據教學實踐，我認為《數學分析》課程中有著太多似是而非的命題。學生若想很好地掌握課程中的相關概念、定理，必須從正反兩方面出發，深挖概念、定理的實質，通過不斷變更概念、定理的條件并提供相應反例，這將有助于自己更好地理解《數學分析》這門課程中的相關概念、定理，為以后進一步學習數學相關課程奠定堅實基礎。

參考文獻:

[1]汪林.實分析中的反例[M].高等教育出版社.1985.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2004.

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[5]段龍偉，解紅霞.談談《數學分析》教學中應用反例的幾點體會[J].太原教育學院學報，2003，21，(2):33-34.