一道圖形面積題的推廣

本文通過一道圖形面積題的解法及其推廣，實現了數與形的有機結合，引導學生一題多解，培養學生散性思維能力，也為學生探究提供了良好的素材。

例1 如圖1，四邊形AEFG與四邊形ABCD

都是正方形，它們的邊長分別為2cm和6cm，且

點E在AD上，求△DBF的面積。

本題的解法較多，主要有:

略解1:S△DBF=S正方形ABCD+S正方形AEFG+S△DEF-S△BCD-S△BFG

略解2:S△DBF= S△ABD +S梯形ADFG-S△BFG

以上的解法方法差不多，都是把這塊圖形的面積寫成幾個平面圖形的和或差的形式，即割補法。另介紹一種不同于以上幾種的一種解法:

解法3:連接AF，因為∠ABD=∠GAF=45°，所以BD∥AF，從而△DBF的面積和△DBA的面積相等，即S△DBF= S△DBA=6×6÷2=18cm2。

解法3利用了同底(BD)等高(兩平行線間的距離)的兩個三角形的面積相等，這種方法既可以培養學生的發散性思維，也為本題的推廣奠定了基礎。

推廣1:圖1的兩個正方形中，如果正方形AEFG的邊長是可以變化的，當其邊長AG的長度變化時，△DBF的形狀也隨之變化，那么△DBF的面積的變大了，變小了，還是不變?

分析:這個問題的結論不知道，需要我們去探索，但由于有了上題的解法3，問題就變得相對簡單了。如圖2，當左邊的正方形AEFG或AE1F1G1隨著邊長的增大或減小，

點F(或F1)的位置都在同一條直線上移動，

并且這條直線與正方形ABCD的對角線BD

平行，雖然△DBF的形狀改變了，但面積的大

小不變，都等于△DBA的面積，即等于正方形

ABCD面積的一半，是18cm2。

從靜態圖形到動態圖形的探究過程，是展示思維的過程及結果的探究過程。通過觀察、分析、動中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形的內在聯系，培養學生歸納能力和探究能力。

推廣2:如圖3，正方形ABCD的邊

長為2，點E在AB邊上，四邊形EFGB

也為正方形，設△AFC的面積為S，則S

為( )

A. S=2 B. S=2.4C. S=4D. S

與BE的長度有關圖3

分析:此題因為E點是個動點，△AFC是變化的三角形，所以應用常見的割補法較為困難。這里不妨連接B與F，由正方形的知識易得FB∥AC，從而△AFC與△ABC是屬于同底(AC)等高(平行線之間的距離)的三角形，故它們面積相等。答案選A。

推廣3:把圖1中正方形AEFG繞點A按順

時針方向旋轉45°得圖4，求圖4中的△DBF的

面積。

分析:這個問題是靜態題，從圖1的位

置變化到圖4的位置，因為旋轉了45°，所

從靜態的一個過程，通過一個動態的變化，到靜態的另一個過程，理解圖形的變化過程，而且為下面的推廣打下了基礎。

推廣4:把圖1中的正方形AEFG繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，△DBF的面積是否存在最大值、最小值?如果存在，請求出最大值、最小值。如果不存在，說明理由。

分析:本題是一個開放性的探究問題，根據上面動態圖形求面積的解答，觀察圖形，再通過實際操作，觀察△DBF的變化情況。可以發現正方形AEFG在旋轉過程中，△DBF的大小、形狀在變，而△DBF的一條邊BD始終沒變。根據三角形的面積公式，當點F到BD的距離最大或最小時，△DBF的面積也隨之最大或最小，當正方形AEFG旋轉到如圖5的位置時，點F在

AC的延長線上，點F到BD的距離最大。連接

AF，S△DBF的最大值=S△ABF+S△ADF+S△ABD=×6×2

+×6×2+×6×6=30cm2。

還有一種方法，是受圖1前兩種解法的啟示，也用補形法，如圖6，分別延長FE、CD交于H，又分別延長CB、FG交于I，得正方形CHFI，則S△DBF的最大值=S正方形CHFI-S△BFI-S△DHF-S△BCD=8×8-×8×2-×8×2-×6×6=30cm2。

那么△DBF的面積有最小值嗎?當正方形繞點A旋轉時，點A到BD的距離最小時，應該有最小值。當正

方形AEFG旋轉到如圖6的位置時，點F在

AC的上，點F到BD的距離最小。所以，

S△DBF的最小值=S△ABD-S△ADF-S△ABF=×6×

6-×6×2-×6×2=6cm2。

總之，通過旋轉圖形和一題多解的發散性變化，讓學生在圖形變化過程中感悟到了靜與動的辯證觀點及由特殊—一般—特殊的數學思想方法。因此，在實際教學中我們要注重學生思維能力的訓練，特別是探究能力的提高。

(吳江市松陵第一中學)