在數學學習中學會猜想

著名物理學家牛頓說過:“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大發現。”這句至理名言道出了猜想的重要性。猜想是人們在有限次(少量或較大量的)的觀察中發現了被研究的對象滿足某種規律，并試圖將這種規律推廣到一般情形中所作的推測性想象的思維方法。它是學習數學、發現新知識、創造新方法的一種手段，同時也是推動數學發展的一種動力。在數學學習中進行的探索，就是關于解題思路、方法，以及答案的形式、范圍、數值的猜想。它既包括對問題結論的猜想，又包括對某一局部情形或環節的猜想。老師鼓勵學生大膽進行猜想，是讓學生經歷探索數學的過程，而不是憑空想象。可見，猜想是學習數學知識、提高分析和解題能力的重要方法，也是培養學生創造性思維的重要途徑。

猜想是數學的靈魂，合理地猜想是解決數學問題的開始，大膽的數學猜想是解決數學問題的源泉。因此，初中數學教師應明確猜想的方法和價值，能夠根據猜想的規律，系統地向學生滲透數學猜想方法，這樣才能使學生掌握數學的思維方法，從而促進學生思維的發展。下面介紹數學學習中常用的猜想的基本形式。

1.歸納式猜想

是指運用不完全歸納法對研究的問題進行觀察、分析，從中得出有關命題的形式、結論或方法的猜想。

例1:七年級數學課本中有這樣一題:用火柴棒按以下方法搭魚。請你用火柴桿拼搭出如圖所示的小魚，然后回答問題:

搭1條小魚用?搖?搖根火柴桿，搭2條小魚用?搖?搖根火柴桿，搭3條小魚用?搖?搖根火柴桿，搭100條小魚呢?搭n條小魚呢?試一試，做一做，你有什么想法?學生觀察并動手實踐，我鼓勵學生從不同的角度來解決問題，從簡單的圖形入手，引導學生大膽猜想，探索，發現規律并進行分析。每增加1條小魚多用6根火柴桿，可看成除第一個小魚多出2根外，其余小魚都只用6根火柴桿，那么n條小魚就用(6n+2)根火柴桿。歸納猜想教學，可激發學生的學習興趣，體會探索規律的價值，提高數學運用能力，體現數學的化歸思想。

2.類比式猜想

是指通過比較兩個對象或問題的部分類似性質，從而得出數學新命題或新方法的猜想。

例如在教授“角的對稱性”時，我引導學生從軸對稱的角度來剖析角平分線和線段的垂直平分線的類似特征，由“到線段兩端距離相等的點在線段垂直平分線上”這個結論，通過類比可以猜想得出“在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角平分線上”這個結論。在教學中讓學生在“手腦并用”中體會“觀察—聯想—類比—猜想”的思想方法，無疑是一種行之有效的方法。

類比猜想雖然是解決問題的捷徑，但是只有本質相同的兩個問題才能進行類比，否則將導致錯誤的結果，其結果的正確性必須加以證明或舉反例來判定。

3.探究式猜想

指依據已有的知識和結果，經嘗試探究而獲得由問題向結果靠近的方向性猜想。

例2:△ABC三邊a、b、c，滿足b+c=8，且12a+bc=a+52，請判斷三角形ABC的形狀。

分析:判斷三角形形狀，由邊入手無外乎兩種情況:邊的相等關系或平方關系。由于b、c對稱性，猜想可能存在b=c或b+c=a，后者易否定，則必有前一項b=c，結合已知條件特點，從而找到解題思路可證:(b-c)=0。

解:因為b+c=8，且12a+bc=a+52，

所以(b-c)=(b+c)-4bc=8-4(a+52-12a)=-4(a-6)≤0，

又(b-c)≥0，

所以b=c，則此三角形為等腰三角形。

這里猜想的作用就是毛估，毛估對尋找解題途徑有極其重要的意義。先有毛估，然后才有邏輯思維。

4.構造式猜想

是指依據數學問題的相似“模式”，利用模型構造法作出相應數學規律或方法的猜想。如從屋頂的三角形狀猜想出三角形具有穩定性;由石塊的拋物線的運動軌跡猜想二次拋物線的性質。

例3:七年級數學課本中“做一做”有一道題:計算式子10×10、10×10的值，再換幾個數試試，仿照例子猜想10×10、2×2、a×a(m、n是正整數)的結果，并且同學之間互相交流，最后說明猜想的正確性，從而得到同底數冪乘法的運算性質。

像這樣如教材中“想一想”、“做一做”中的題目可以很好地訓練學生仿例猜想能力，一般是通過“聯想—仿造—猜想”來實現新問題的解決。

5.試驗式猜想

是指對要研究的問題進行試驗，通過每次試驗得出的結論得出相應的猜想。

例4:當n為大于2的自然數時，n與(n+1)的大小關系是?

:n=3時3>4，

n=4時4>5，

n=5時5>6，

n=6時6>7，

……

據此可作猜想:當n為大于2的自然數時，n>(n+1)。從而考慮到用數學歸納法來證明猜想的正確性。

丹皮士說:“人類是在十試九誤的過程中進步的。”數學解題也是如此。

可見，有了猜想，我們的思維才有了飛翔的翅膀;有了猜想，我們才有創新的空間和原動力。猜想對激發學生的學習興趣，幫助學生尋找解題途徑，培養學生的思維發散性和創造性有著重要的作用。這將有效地提高學生分析問題、解決問題的能力，使他們更聰明，更富有創新精神。

但必須注意是，猜想和證明是數學學習中密切相關的兩個方面。數學猜想具有或然性，不是胡思亂想和任意拼湊。猜想的結論是否正確必須經過嚴格的數學證明。這就需要教師正確地引導、逐步地培養學生在大膽猜想的同時養成證明的習慣。我們應努力讓學生的猜想貫穿教學始終，讓他們感受數學的樂趣。

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