整體把握高中數學的“主線”:函數

函數是高中數學的核心內容，在整個中學數學課程中充當著聯系各部分代數知識的“紐帶”。要想學好函數，要想對函數概念有更多的感悟，學生就要放在數學的大框里整體把握函數內容。

一、從高中數學知識鏈中認識函數

函數是必修1的重點內容，也是中學數學的基本概念之一。新課程數學從必修到選修，函數是其中一條主線，主要體現在必修1:函數概念和性質與基本初等函數I(指數、對數、冪函數);必修數學4:基本初等函數II(三角函數);必修數學5:數列(離散型函數);選修系列1-1(2-2):用導數研究函數的性質。

函數是研究方程、不等式、數列、線性規劃、算法、微積分的基本思想，函數模型是實際問題和幾何問題中研究最值的常用模型。

二、從高中數學內容和結構中認識函數

必修1中主要是:函數的概念、圖像和性質→三種函數模型(指數、對數、冪函數)→函數與方程→函數模型及其數據應用。

必修4中主要是:角的概念及表示→三角公式及應用→三角函數的圖像→三角函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)→三角函數模型的應用。

必修5中主要是:數列的概念及表示方法→兩種數列模型(等差、等比)→a，S的研究→數列模型的應用。

選修1-1(2-2)主要是:導數的概念及其幾何意義→常見函數的求導公式及求導法則→用導數刻畫單調性→極大值、極小值→最大值、最小值→實際應用。

從高中所研究的初等函數來看，函數的研究的結構都遵循著以下幾種結構。

三、從高中數學的思維方式認識函數

1.兩條線索

一是抽象的數學研究，主要研究對象是符號y=f(x)，符號化、形式化是數學的重要特征，如所有的函數關系都可以用抽象符號y=f(x)來表示，這種表示不僅形式簡單，而且可以加深對函數概念本質的理解。

二是具體的實例研究，主要研究對象是y=a，y=logax，y=x，y=sinx，y=cosx，y=tanx，以及初中學的y=kx+b，y=，y=ax+bx+c等函數，通過研究這些函數圖像，掌握這些函數的性質，對了解和掌握函數的性質具有形象直觀的優勢。

2.兩個角度

對高中函數的研究是從兩個角度進行的，一是從符號語言對函數進行精確的刻畫;二是從圖形語言對函數進行直觀的描述。這兩種角度貫穿了函數的學習的全過程，具體體現在以下幾個方面。

(1)函數的概念

在函數的概念中定義域的定義為所有輸入值x組成的集合，值域的定義為所有輸出值y組成的集合。其本質就是由符號的取值構成的集合，而這兩個函數基本概念用圖形語言描述為函數y=f(x)的圖像在x軸上的射影構成的集合即為定義域，在y軸上的射影構成的集合即為值域。如圖1，值域用圖形語言描述。

(2)函數的表示方法

函數有三種表示方法:列表法、圖像法、解析式法。

解析式即用一個關于x、y的二元方程f(x，y)=0來表示兩個變量之間的關系。圖像即把二元方程f(x，y)=0解構造為一個點集{(x，y)|f(x，y)=0}，然后建立平面直角坐標系畫出函數的圖像。前者是通過式子用代數的方法刻畫了兩個變量之間的關系便于通過等式研究函數的性質，而后者是通過圖形用幾何的方法刻畫了兩個變量之間的關系能夠直觀反映函數值隨自變量值變化的趨勢。

如方程x+y=1(y≥0)，根據函數定義可得，該二元方程即為函數y=，而該方程的解構造為一個點集{(x，y)|y=}，畫出圖像如圖2所示。

(3)函數的性質

①單調性

符號語言:“>0”就是對自然語言“隨著x增大，y也增大”的精確刻畫。

圖形語言:

從左向右觀察，曲線在逐漸上升，這樣就是對自然語言“隨著x增大，y也增大”的直觀反映。

②奇偶性

符號語言:“?坌x∈D，f(x)=±f(-x)，”就是對奇偶性的精確刻畫。

圖形語言:通過圖形關于y軸對稱和關于原點對稱直觀反映了函數奇偶性。

③周期性

符號語言:“?坌x∈R，f(x)=f(x+T)”就是對自然語言“周而復始”的精確刻畫。

圖形語言:通過圖形的不斷重復，直觀地反映了函數的周期性。

從函數的概念到函數表示與函數性質，我們可以發現高中函數的研究是從代數角度用符號語言和幾何角度用圖形語言這兩個角度來進行研究。

四、從高中數學感受與應用認識函數

1.函數與方程之間的關系

代數:ax+b=0相當于函數y=ax+b，當x=?時y=0?

ax+bx+c=0相當于函數y=ax+bx+c，當x=?時y=0?

f(x)=0相當于函數y=f(x)當x=?時y=0?

幾何:方程f(x)=0的根即為y=f(x)的零點。

2.函數與不等式之間的關系

代數:y=ax+b>0，y=ax+bx+c>0，即解不等式的解的問題就是函數值大于零或小于零時對應自變量的值。

幾何:如:x-5x>0的解集即為函數y=x-5x在x軸上方所對應圖像在x上投影的集合。

3.函數模型的應用

日常生活中有著太多的變量與變量之間的關系，如何用數學的方法來研究它們，而函數作為一個重要的模型之一，其發揮著巨大的作用。

用數學的方法來研究實際問題，其本質就是建立數學模型和數學方法的運用，其過程如下圖:

高中新課程對實際的應用進一步加大，其目的是想通過對函數的應用，使得以前我們對于數學與實際、數學與其他學科的聯系未能給予充分的重視，使得學生對數學的興趣日趨減少，認為數學就是做題，學數學沒用、升學有用等現象得到避免，通過數學應用的教學活動符合社會需要，有利于激發同學們學習數學的興趣，有利于增強同學們的應用意識，有利于拓寬學生的視野。

綜上所述，函數是高中數學課程的一條主線，從一個角度鏈接起了高中數學課程的許多內容。有了這條主線就可以把數學知識編織在一起，所以學好函數也就頂住了高中內容的“半邊天”。