高等幾何教學(xué)問題及教學(xué)方法探討

摘 要: 高等幾何是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課之一。作者對高等幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)作了簡單介紹，就教學(xué)中出現(xiàn)的問題作了分析，并從高等幾何的抽象、難教、難學(xué)的特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了幾種有效的教學(xué)方法:與中學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式，引導(dǎo)式教學(xué)，一題多解的教學(xué)，化抽象為具體式教學(xué)，多媒體教學(xué)。

關(guān)鍵詞: 高等幾何 問題 教學(xué)方法

1.引言

高等幾何是一門非常抽象的課程，在課堂上會(huì)出現(xiàn)很多教師難以講解、學(xué)生難以接受的知識(shí)點(diǎn)。很多學(xué)生覺得高等幾何這門學(xué)科對他們以后從事中小學(xué)教育沒有幫助，其實(shí)不然，高等幾何中的重要思想、處理問題的方法對學(xué)生抽象思維能力的提高有很大的幫助，能讓學(xué)使用高等幾何的觀點(diǎn)去看待、處理初等幾何中的問題，對他們在以后的工作中更好地把握初等幾何教材有很大的指導(dǎo)作用，因此研究如何提高高等幾何的教學(xué)質(zhì)量，讓學(xué)生更輕松地學(xué)習(xí)高等幾何有很重要的意義。

2.高等幾何知識(shí)體系

高等幾何是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)一起，被稱為“前三高”。主要內(nèi)容包括射影平面、射影變換、變換群與幾何學(xué)、二次曲線理論、幾何學(xué)尋蹤等。本課程的主旨在于拓展學(xué)生的幾何空間知識(shí)，學(xué)習(xí)變換群觀點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練理性思維能力、增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的目的，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來的幾何學(xué)教學(xué)與研究打下良好的基礎(chǔ)。

3.高等幾何的特點(diǎn)與教學(xué)中存在的問題

高等幾何作為一門高等院校數(shù)學(xué)師范專業(yè)基礎(chǔ)課程，有其自身的特點(diǎn)和與之相對應(yīng)的教學(xué)問題，具體分析如下。

(1)與中學(xué)聯(lián)系密切

教材中的許多理論、思想和方法在中學(xué)幾何中已有介紹，這為學(xué)習(xí)高等幾何奠定了基礎(chǔ)，但是也會(huì)帶來一些知識(shí)點(diǎn)的干擾。如:拓廣平面上齊次坐標(biāo)的引入是為了實(shí)現(xiàn)數(shù)、形結(jié)合，用解析的方法研究射影幾何，使得學(xué)生既能刻畫有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，又能刻畫無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。但是很多同學(xué)始終擺脫不了傳統(tǒng)笛氏坐標(biāo)的干擾，在具體教學(xué)過程中教師需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)齊次坐標(biāo)與笛氏坐標(biāo)的根本區(qū)別在于齊次性，引導(dǎo)學(xué)生在掌握齊次性的前提下靈活運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)。

(2)抽象

中學(xué)幾何中很多問題都能用圖形直觀地呈現(xiàn)出來，而高等幾何相對較抽象，如無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無法在圖形中直接畫出，這給學(xué)生理解拓廣平面增加了不少難度，在具體教學(xué)過程中教師只能通過與拓廣平面存在雙射的幾何形或者集合作為模型來幫助學(xué)生理解拓廣平面。

(3)方法靈活

數(shù)學(xué)很多知識(shí)點(diǎn)可以從不同的出發(fā)點(diǎn)考慮，方法也因?yàn)榭紤]的角度不同而靈活多樣，高等幾何也不例外。如三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)的某些問題，可以用Desargues透視定理，也可以用透視對應(yīng)來解決。又如用幾何條件來證明對合問題時(shí)選取對應(yīng)元素的方法較靈活。教師要利用靈活的方法來促進(jìn)學(xué)生的思維能力的提高，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.教學(xué)方法

(1)與中學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式

高等幾何在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面具有獨(dú)特的功能。學(xué)習(xí)高等幾何后，我們不僅可以用它的觀點(diǎn)來指導(dǎo)初等幾何的教學(xué)，為初等幾何教學(xué)提供新的思維方法，而且能更透徹地理解初等幾何中的一些現(xiàn)象、規(guī)律。如“一個(gè)三角形外切于一個(gè)圓，則其每邊的切點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線必共點(diǎn)”，這是初等幾何常見的結(jié)論，此結(jié)論在高等幾何中實(shí)際上就是Brianchon定理的極限形式，在講解二次曲線射影理論時(shí)可以給出透徹的說明。

(2)引導(dǎo)式教學(xué)

學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程常常脫離不了抄筆記、記筆記和背筆記的模式，上課時(shí)老師一遍又一遍地講解數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)、定理和證明，學(xué)生則忙著抄筆記，很少有時(shí)間去思考。長此以往，一些學(xué)生覺得沒有必要上課，考試前將同學(xué)的筆記復(fù)印后，直接看筆記備考即可。針對此現(xiàn)象，我在高等幾何的教學(xué)過程中盡量避免“灌輸式”的教學(xué)模式，以問題解決為中心，提高學(xué)生的參與意識(shí)，采取引導(dǎo)式教學(xué)模式，將單向傳授方式變?yōu)殡p向傳遞方式，適時(shí)將問題拋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地提問，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的盲點(diǎn)，知道哪些知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生難以理解的，然后重點(diǎn)講解。

(3)一題多解的教學(xué)方法

為了培養(yǎng)學(xué)生不盲目依賴于書本，多角度、多層次思考問題的能力，教師要讓學(xué)生盡可能地尋找多種方法對問題加以解決。如:證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題，有些既可以用Desargues透視定理，又可以用透視對應(yīng)中的一些結(jié)論，甚至有的還能用調(diào)和分離來證明。又如:初等幾何中常常出現(xiàn)的某些幾何證明題既可以用代數(shù)法證明，又可以用幾何法證明，高等幾何中也有應(yīng)用，下面一道例題分別用了幾何方法和代數(shù)方法證明。

例:設(shè)A、B、C、D是點(diǎn)列l(wèi)(P)上四點(diǎn)，且(AB，DP)=(AB，PC)。求證:在l(P)上有相異二點(diǎn)P、P’滿足條件，且(AB，PP’)=-1。

證法一:

由(AB，DP)=(AB，PC)(AB，DP)=(BA，CP)

PP，PPP’P，PP

所以，P為A→B;C→D所確定的對合中的不變點(diǎn)。設(shè)此對合的另一個(gè)不變點(diǎn)為P’，則P’也滿足條件(AB，DP’)=(AB，P’C)。

于是，在l(P)上有相異的二點(diǎn)P，P’為A→B;C→D所確定的對合中的不變點(diǎn)，滿足(AB，PP’)=-1。

證法二:設(shè)A，B，C，D的齊次坐標(biāo)依次為:

a，b，a+b，a+λb，P的齊次坐標(biāo)為a+λb，

因?yàn)?AB，DP)=(AB，PC)

所以=?圯λ=±

所以，在l(P)上有相異二點(diǎn)P:a+b，P’:a-b

滿足條件，而且(AB，PP’)=-=-1.

教師可以針對這些問題進(jìn)行階段性的總結(jié)，通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生靈活、系統(tǒng)地運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和創(chuàng)造能力，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

(4)化抽象為具體式教學(xué)

教師要結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)教學(xué)，所有問題都要化繁為簡，做到細(xì)化、簡化、明朗化。高等幾何教材中很多定理學(xué)生都會(huì)覺得難以讀懂、難以理解，講解中要結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，始終圍繞如何讓學(xué)生比較輕松地接受知識(shí)，如何將知識(shí)點(diǎn)更加直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生。例如:“完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性”這節(jié)中的定理:完全四點(diǎn)形的一對對邊被過此二邊交點(diǎn)的對邊三點(diǎn)形的兩邊調(diào)和分離。學(xué)生讀完此定理往往是不知所云，我們在講解的時(shí)候可以結(jié)合圖1換種說法:經(jīng)過三個(gè)對邊點(diǎn)X、Y、Z各有一個(gè)調(diào)和直線組，比如經(jīng)過對邊點(diǎn)X有一調(diào)和直線組，其中一對為過X的對邊s、s’，另一對為過X的對邊三點(diǎn)形的兩邊t、t’。這樣此定理學(xué)生理解起來會(huì)相對較輕松。

(5)多媒體教學(xué)

多媒體以形象生動(dòng)的文字、圖像、聲音，使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)保持思維活動(dòng)的積極狀態(tài)，通過對圖像內(nèi)容進(jìn)行由表及里，從個(gè)別到整體的認(rèn)識(shí)和思考，能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。高等幾何的教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體進(jìn)行教學(xué)是很有必要的，它能夠應(yīng)用兩個(gè)或多個(gè)畫面的同步顯示功能，通過比較、綜合、分析，充分體現(xiàn)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，例如Desargues透視定理的關(guān)鍵是理解Desargues點(diǎn)、Desargues線，以及它們之間的關(guān)系，講解此定理時(shí)可以用多媒體向?qū)W生分別展示如何畫出透視中心(Desargues點(diǎn))和透視軸(Desargues線)，以及如何將透視中心和透視軸集中在一張幾何圖形上，運(yùn)用多媒體可以讓學(xué)生反復(fù)觀看，加深印象，更直觀的認(rèn)識(shí)Desargues點(diǎn)和Desargues線。

5.結(jié)語

高等幾何課程的學(xué)習(xí)有益于拓展學(xué)生的幾何空間知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來的幾何學(xué)教學(xué)與研究打下良好的基礎(chǔ)。我結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對教學(xué)中存在的問題，就四種教學(xué)方法:與中學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式、引導(dǎo)式教學(xué)、一題多解的教學(xué)、化抽象為具體式教學(xué)、多媒體教學(xué)作了較為詳細(xì)的介紹。總之，教師需要不斷地加強(qiáng)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，熟悉教材內(nèi)容、體系、知識(shí)間的聯(lián)系，研究新的教學(xué)方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，這樣才能有良好的教學(xué)效果。

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