《諾亞舟學(xué)習(xí)機在課堂教學(xué)中的設(shè)計案例》一次函數(shù)與二元一次方程(組)教學(xué)設(shè)計

一、 教材分析

(1)教材的地位和作用。函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型。用函數(shù)的觀點看方程(組)與不等式，使學(xué)生不僅能加深對方程(組)、不等式的理解，提高認(rèn)識問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)完一次函數(shù)、一元一次方程及一元一次不等式的聯(lián)系后對一次函數(shù)和二元一次方程(組)關(guān)系的探究，學(xué)生在探索過程中體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，這對今后的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。

(2)教學(xué)重難點。重點:一次函數(shù)與二元一次方程(組)關(guān)系的探索。難點:綜合運用方程(組)、不等式和函數(shù)的知識解決實際問題。

(3)教學(xué)目標(biāo)。知識技能:理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系，會用圖像法解二元一次方程組。數(shù)學(xué)思考:經(jīng)歷一次函數(shù)與二元一次方程(組)關(guān)系的探索及相關(guān)實際問題的解決過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去認(rèn)識問題。解決問題:能綜合應(yīng)用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(組)解決相關(guān)實際問題。情感態(tài)度:在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的科學(xué)精神，在師生、生生的交流活動中，學(xué)會與人合作，學(xué)會傾聽、欣賞和感悟，體驗數(shù)學(xué)的價值，建立自信心。

二、 教法說明

對于認(rèn)知主體——學(xué)生來說，他們已經(jīng)具備了初步探究問題的能力，但是對知識的主動遷移能力較弱，為使學(xué)生更好地構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，我將在教學(xué)中采用探究式教學(xué)法。以學(xué)生為中心，使其在“生動活潑、民主開放、主動探索”的氛圍中愉快地學(xué)習(xí)。

三、 教學(xué)過程

(1)創(chuàng)境導(dǎo)入。多媒體播放一段發(fā)生在電信公司里的情景:一顧客準(zhǔn)備辦理上網(wǎng)業(yè)務(wù)，發(fā)現(xiàn)有兩種收費方式:方式A以每分鐘0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費;方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。顧客說他每月上網(wǎng)的費用按這兩種收費方式計算都是一樣多。求這位顧客打算每月上網(wǎng)多長時間?多少費用?學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過列方程(組)解應(yīng)用題，因此可能列出一元一次方程或二元一次方程組，用方程模型解決問題。結(jié)合前面對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間關(guān)系的探究，我自然地提出問題:“一次函數(shù)與二元一次方程之間是否也有聯(lián)系呢?”從而揭示課題。[設(shè)計意圖]在實際情境中學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，用“上網(wǎng)收費”這一生活實際創(chuàng)設(shè)情境，并用問題啟發(fā)學(xué)生去思、鼓勵學(xué)生去探、激勵學(xué)生去說，努力給學(xué)生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢，從而喚起學(xué)生強烈的求知欲，使他們以躍躍欲試的姿態(tài)投入到探索活動中來。

(2)自主探究。

A. 探究一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。填空:二元一次方程3x+t6=8可以轉(zhuǎn)化為y=( )。猜想:直線y=-x+上任意一點(x，y)一定是方程3x+5y=8的解嗎?是否任意的二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為這種一次函數(shù)的形式?是否直線上任意一點的坐標(biāo)都是它所對應(yīng)的二元一次方程的解?請利用學(xué)習(xí)機探索，并驗證上面的猜想(圖1)。[設(shè)計意圖]用一連串的問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程在數(shù)與形兩個方面的關(guān)系，為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標(biāo)的關(guān)系作好鋪墊。

B. 探究一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系。其一，在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=-x+和y=2x-1的圖像，觀察兩直線的交點坐標(biāo)是不是方程組3x+5y=82x-y=1的解?請利用學(xué)習(xí)機探索:是否任意兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)都是它們所對應(yīng)的二元一次方程組的解?此時，教師留給學(xué)生充分探索交流的時間與空間，對學(xué)生可能出現(xiàn)的疑問給予幫助，師生共同歸納出:從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo)(圖2)。作圖關(guān)鍵步驟:通過滑桿設(shè)置系數(shù)a、 b、 c 、d(圖3);作出函數(shù)圖像(圖4);選擇移動工具，點擊移動點，拖動點A、B、C、D，可得到任意兩直線相交的圖像。選擇交點工具，分別點擊兩條直線得交點，選擇垂線段工具過交點分別做橫軸與縱軸的垂線，垂足出所標(biāo)的數(shù)據(jù)，即是方程組的解。選擇移動工具，點擊移動點，拖動點A、B、C、D，可得任意方程組的解(圖5)。其二，當(dāng)自變量x取何值時，函數(shù)y=-x+與y=2x-1的值相等?這個函數(shù)值是什么?這一問題與解方程組3x+5y=82x-y=1是同一問題嗎?進(jìn)一步歸納出:從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值。[設(shè)計意圖] 學(xué)生經(jīng)過自主探索、合作交流，依靠學(xué)習(xí)機從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，真正掌握本節(jié)課的重點知識，從而在頭腦中再現(xiàn)知識的形成過程，避免單純記憶，使學(xué)習(xí)過程成為一種再創(chuàng)造的過程。此時教師及時對學(xué)生進(jìn)行鼓勵，充分肯定學(xué)生的探究成果，關(guān)注學(xué)生的情感體驗。

(3)鞏固訓(xùn)練。我市一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式:方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費，方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。如何選擇收費方式能使上網(wǎng)者更合算?解法1:設(shè)上網(wǎng)時間為x分，若按方式A則收y=0.1x元;若按方式B則收y=0.05x+20元。然后在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像，計算出交點坐標(biāo)(400，40)，結(jié)合圖像，利用直線上點位置的高低直觀地比較函數(shù)值的大小，得到當(dāng)一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400分時，選擇方式A省錢;當(dāng)上網(wǎng)時間等于400分時，選擇方式A、B沒有區(qū)別;當(dāng)上網(wǎng)時間多于400分時，選擇方式B省錢。解法2:設(shè)上網(wǎng)時間為x分，方式B與方式A兩種計費的差額為y元，得到一次函數(shù):y=(0.05x+20)-0.1x，即y=-0.05x+20，然后畫出函數(shù)的圖像，計算出直線與x軸的交點坐標(biāo)，類似地用點位置的高低直觀地找到答案。注意:所畫的函數(shù)圖像都是射線。[設(shè)計意圖]為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和規(guī)范解題的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生將上網(wǎng)問題延伸為例題，并用問題“你家選擇的上網(wǎng)收費方式好嗎”再一次激起學(xué)生強烈的求知欲望和主人翁的學(xué)習(xí)姿態(tài)。通過此問題的探究，使學(xué)生有效地理解本節(jié)課的難點，體會數(shù)形結(jié)合這一思想方法的應(yīng)用。

(4)體驗成功。A.搶答題。a.以方程3x-y=2的解為坐標(biāo)的所有點都在一次函數(shù)y=()的圖像上。b.方程組x+y=1x-y=1的解是

()，由此可知，一次函數(shù)y=-x+1與y=x-1的圖像必有一個交點，且交點坐標(biāo)是()。b.旅游問題。某紀(jì)念館門票標(biāo)價20元/張，近期正在進(jìn)行優(yōu)惠活動，購買時有兩種方式:方式A是團(tuán)隊中每位游客按8折購買;方式B是團(tuán)隊中除5張按標(biāo)價購買外，其余按7折購買。如果你是團(tuán)隊的負(fù)責(zé)人，你會如何選擇購買方式使整個團(tuán)隊更合算?[設(shè)計意圖]抓住學(xué)生對競爭充滿興趣的心理特征，用搶答題使學(xué)生的眼、耳、腦、口得到充分調(diào)動，并在搶答中品味成功的快樂，提高思維的速度。在學(xué)生感興趣的旅游問題中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，更好地促進(jìn)學(xué)生對本節(jié)課難點的理解和應(yīng)用，幫助學(xué)生不斷完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

(5)分享收獲。在課堂臨近尾聲時，向?qū)W生提問:通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?你印象最深的是什么?[設(shè)計意圖]培養(yǎng)學(xué)生歸納和語言表達(dá)能力，鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)情感等方面進(jìn)行自我評價。

(東營市勝利第四中學(xué))