2010年中考試題中的“圖形的展開與折疊”

中學生的認知能力在不斷提高，認知的核心成分——思維能力逐漸成熟，抽象邏輯思維、辯證思維和創造思維也有了較大發展;注意的穩定性較小學生增強，但對呆板、枯燥、機械的教學和操練，學生容易因厭煩而分散精力;觀察力、有意識記能力、有意想象能力不斷發展，思維的目的性、方向性更明確，認知系統的自我評價和自我控制能力都較小學時有所增強;認知結構和情意、個性等形成較協調發展的局面，使心理的整體水平也得到提高。

在展開與折疊的活動中，學生能初步形成空間觀念，能強化和提高進行圖形分析與推理的能力。2010年全國各地的中考試題中大量出現這類題型，我經過篩選，整理出一小部分進行賞析。首先是關于幾何體的展開圖。

1.(眉山市)下列四個圖中，是三棱錐的表面展開圖的是()。

學生在充分掌握棱錐、圓錐的形狀特征的前提下，只需簡單空間想象，就很容易得出上題的答案。如果適當變形，將變得更有實際意義。如下一道中考題。

2.(浙江省衢州卷)小剛用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個如圖所示的圓錐形小丑帽子側面(接縫忽略不計)，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是( )。

A.120πcmB.240πcm

C.260πcmD.480πcm

折疊是展開的相反活動，以上兩個例題都涉及到將立體圖形轉化為平面圖形是展開，將平面圖形轉化為立體圖形則是折疊。但折疊不能只局限于以上這些簡單的題型，中考中涉及三角形、矩形的折疊才是“重頭戲”。

3.(浙江省義烏市)如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，且DE∥BC，下列結論中，一定正確的個數是()。

①是等腰三角形 ②DE=BC

③四邊形是菱形 ④∠BDF+∠FEC=2∠A

A.1B.2 C.3D.4

將三角形紙片ABC沿DE折疊，則有△ADE與△FDE關于DE軸對稱，△ADE≌△FDE，有AD=FD，AE=FE，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，因為DE∥BC，利用“兩直線平行，同位角相等，內錯角相等”，可得∠B=∠BFD，所以△BDF是等腰三角形，①成立。抓住△ADE≌△FDE這個關鍵，AD=BD=FD，所以D是AB的中點，同理E也是AC的中點，DE是△ABC的中位線，②也成立。利用三角形內角和定理或連AF用三角形外角和定理，很容易確定④也正確。因為三角形ABC不一定是等腰三角形(AB=AC)，AD=FD≠AE=FE，故四邊形不一定是菱形。

4.(江西)如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點，∠BEG>60°，現沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個數為()。

A.4B.3 C.2 D.1

沿直線EG將紙片折疊，有△BEG≌△HEG，明顯有∠HEG=∠BEG，這里E點是中點很重要，AE=BE=EH，△AEH是等腰三角形，可推出∠EAH=∠EHA=∠BEG，故選B。

結合上面兩個例題可看出折疊問題中，最基本也是最關鍵的地方就是要注意折痕兩側可完全重合的部分，即關于折痕軸對稱，找全等，找相等的線段、角，找等腰三角形，綜合分析，解決問題。

5.(青島)把一張矩形紙片(矩形ABCD)按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF。若AB=3cm，BC=5cm，則重疊部分△DEF的面積是?搖?搖?搖?搖cm。

求△DEF的面積，其實只要求出線段DE長(DE邊上的高為3cm)即可。考慮軸對稱、矩形、直角三角形等方面，可作如下解答:設DE=x，則AE=A′E=(5-x)cm，在直角三角形A′ED中，根據勾股定理得A′E+A′D=DE，即(5-x)+3=x，解之得x=3.4，所以重疊的部分面積為5.1cm。

折疊問題中經常出現與上題類似的計算求值，尤其要注意個別重要線段的計算，計算過程中，充分利用特殊圖形的性質，結合勾股定理，設未知數，列方程求解，用代數方法解決幾何問題，這在一定程度上也體現了數形結合數學思想。

中考中有許多探究題也涉及到折疊，雖然問題設計靈活，知識點多，但是只要抓住以上分析的折疊的特征和解決問題的思想方法，還是可以輕松完成的。

6.(順義)已知正方形紙片ABCD的邊長為2。

操作:如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處(點P與C、D不重合)，折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G。

探究:(1)觀察操作結果，找到一個與相似的三角形，并證明你的結論;

(2)如圖2，當點P位于CD中點時，你找到的三角形與△EDP周長的比是多少?

與△EDP相似的三角形是△PCG和△FQG。因為折疊后，∠Q與∠EPQ=90°，易找另一組銳角相等，利用“兩組對應角相等的三角形相似”來判斷。

探究(2)是求周長比，如圖2，因為“相似三角形的周長比等于相似比”，所以要通過求線段長來求相似比，而第5題已經給出了典型的方法。以△PCG∽△EDP為例，設ED=x，則AE=2-x，由折疊可知:EP=AE=2-x。∵點P是CD中點，∴DP=1，∵∠D=90°，∴ED+DP=EP，即x+1=(2-x)，解得:x=，∴ED=。

∵△PCG∽△EDP，

∴==，

∴△PCG與△EDP周長的比為4∶3。

圖形的展開與折疊是初中數學中的重要內容，空間觀念需要大量的實踐活動，學生要有充分的時間和空間觀察、測量、動手操作，例如七年級學習的三視圖。然而中考考查學生的不僅僅是幾個幾何體的視圖、表面展開圖，更重要的是與其它知識的融合應用。在計算、證明某些問題時，掌握展開與折疊的特征，靈活運用各種數學思想方法，尤其是方程思想，就可以迅速并且有效地完成任務。當然關于圖形的展開與折疊還有更多的、更復雜的數學問題，鑒于它的普遍性、重要性，教師、學生都需要重點加以練習、分析、歸納。