突破命題立意,另辟解題蹊.徑

考題一:(2010年全國Ⅱ卷文、理第17題)三角形ABC中，D為邊BC上的一點，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD。

分析:本題命題立意主要考查兩角和、差公式，同角三角函數關系和正弦定理等解斜三角形的基礎知識，以及推理、運算能力。命題者所給評分標準里的解答如下:

解:由cos∠ADC=>0知B<，由sinB=得cosB=，由cos∠ADC=得sin∠ADC=，

從而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADC

sinB=×-×=。

由正弦定理得=，

所以AD===25。

事實上本題可以通過添加輔助線轉化為直角三角形，求解過程如下:

解:如圖1，作AE⊥BC于E，設DE=x，則BE=BD+DE=33+x。

在Rt△ABE中，由sinB=得cosB=，于是tanB==，

所以AE=BE=(33+x)。

在Rt△ADE中，由cos∠ADC=得sin∠ADC=，tan∠ADC==，

所以AE=DE=x。

于是有:(33+x)=x，解之得:DE=x=15，

所以AD==15×=25。

顯然，這一解法并沒有完全按命題者意圖運用兩角和、差公式及正弦定理而另尋途徑完成了解題過程。

考題二:(2006年全國Ⅱ卷文第17題)已知△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=。

(Ⅰ)求BC邊的長;

(Ⅱ)記AB的中點為D，求中線CD的長。

分析:本題命題立意主要考查同角三角函數關系、兩角和的正弦公式、余弦定理和正弦定理等解斜三角形的基礎知識，以及推理、運算能力。命題者所給評分標準里的解答如下:

解:(Ⅰ)由cosC=得sinC=，

sinA=sin(180°-45°-C)=(cosC+sinC)=。

由正弦定理得BC==·=3。

(Ⅱ)AB==·=2，BD=AB=1，

由余弦定理得 CD=

==。

同考題一，本題也可以轉化為解直角三角形來求解如下:

解:(Ⅰ)如圖2，作AE⊥BC于E。在Rt△AEC中，EC=ACcos∠ACB=×=2，

于是AE===。

在Rt△ABE中，由∠B=45°得BE=AE=，

所以BC=BE+EC=2+=3。

(Ⅱ)作DF⊥BC于F，由D為AB的中點，以及∠B=45°，得BF=DF=AE=，

所以FC=BC-BF=3-=，

所以，在Rt△DFCE中:DC===。

與考題一的另解比較，考題二的另解完全沒有按照命題者的意圖來解，而是通過添加輔助線，將問題轉化為運用勾股定理、三角形的中位線定理等平面幾何知識和銳角三角函數的定義完成解答，顯得淺顯易懂，從而將一道高考題變成初中生都能夠解答的試題。

在解斜三角形問題時，有時根據題目所給條件的特殊性，通過添加輔助線(一般作三角形某一邊的高線或垂線)，突破命題者的意圖，將問題轉化為直角三角形求解，可以避免運用兩角和(差)公式、正弦定理、余弦定理等較多三角公式帶來的繁瑣運算，從而巧妙地使問題得以解決。