改進的小波閾值去噪方法在外匯市場中的應用

摘要:金融時間序列本質上具有非平穩性、非線性、信噪比低的特點，因此在對其進行分析前，有必要消去一些隨機噪聲。傳統的軟、硬閾值去噪方法分別存在偏差和方差過大的缺點。本文在硬、軟閾值方法基礎上，改進了閾值函數的選取，引入硬、軟閾值折中函數和改進的指數型閾值函數的小波去噪方法。并利用Matlab對四種去噪方法進行了對比，結果表明硬軟閾值折中方法去噪效果要優于其他方法，并將該去噪方法應用在外匯市場中，給外匯走勢的分析者提供了數據處理工具。

關鍵詞:小波理論;閾值去噪;Matlab仿真;信噪比

一、引言

基于小波閾值去噪方法的核心是小波系數的估計，閾值函數體現了幾種系數的不同處理策略以及不同的估計方法。然而，在硬閾值的處理過程中，得到的估計小波系數值連續性差，可能引起重構信號的震蕩;而用軟閾值法處理后，估計小波系數值雖然連續性好，易于處理，但由于當小波系數較大時，估計值與原來的小波系數值有固定的偏差，這將直接影響重構信號與真實信號的逼近程度，給重構信號帶來不可避免的誤差。本文在傳統閾值函數去噪方法的基礎上，引入硬、軟閾值折中函數和改進的指數型閾值函數小波去噪方法，利用Matlab仿真將其與傳統的閾值去噪方法進行比較，結果表明硬軟閾值折中方法去噪效果要優于其他的閾值去噪方法，同時利用這種方法進行實證分析，將其應用在外匯時間序列數據去噪處理中，得到較好點的去噪效果。

二、小波閾值去噪模型的建立

對金融時間序列來說，很難給噪聲下一個準確的定義，那些隨機性強、無法從中找出有價值的規律的信號都可以視為噪聲信號。因此，為了防止去掉有價值的信號，我們一般只將那些頻繁，幅度不大的波動作為噪聲，而它們一般表現為高斯白噪聲形式。因此含噪信號模型可表示為:Xt=Dt+σεt，其中，εt～N(0，1)，即服從標準正態分布，σ為噪聲的標準差。對帶噪信號Xt=Dt+σεt作離散小波變換后，得到的小波系數Wj，k由兩部分組成，一部分是真實信號Dt對應的小波系數，記為dj，k，另一部分是噪聲et對應的小波系數，記為ej，k。小波閾值去噪方法在最小均方誤差(MSE)意義上是有效的，并且已經取得了廣泛的應用，此方法的基本思想是:

(1)對帶噪信號Xt作小波變換，得到一組小波系數Wj，k;

(2)通過對Wj，k進行閾值處理，得到估計小波系數 ，使得 盡量小;

(3)利用 進行小波重構，得到估計信號，即為去噪后的信號。

小波去噪的效果取決于以下兩點:1)去噪后的信號應該和原信號有同等的光滑性;2)信號經處理后的均方根誤差(RMSE)越小，信噪比(SND/dB)越大，效果越好，它們的定義形式分別為:

其中x(j)為原始信號在取樣點j 的

幅值， 為消噪后的信號在位置j的幅值，N為信號長度。因此，如何選擇閾值和如何利用閾值來量化小波系數，將直接影響到小波去噪結果。

三、小波系數的閾值處理過程

3.1閾值的選取

由前述閾值法去噪的原理可知閾值是區分信號和噪聲的分水嶺。閾值太高，會引起信號失真，太低則又去噪不完全。一般的，閾值的確定主要基于這樣幾項準則:

(1)無偏風險估計準則(RIGRSURE)即一種基于Stein的無偏似然估計原理的自適應閾值選擇方法。對每個閾值，求出對應的風險值，風險最小的即為所選。

(2)固定閾值準則(SQTWOLOG)設n為小波系數向量長度，則對應的閾值為:。

(3)混合準則(HEURSURE)它是RIGRSURE和SQTWOLOG準則的混合，其閾值方法為:首先判斷兩個變量Eta和Crit的大小，若Eta

(4)極小極大準則(MINIMAXI)也是一種固定閾值選擇形式。由于去噪信號可假設為未知回歸函數的估計量，則極小極大估計量是實現在最壞條件下最小均方誤差最小量。其閾值是針對標準差為1的高斯白噪聲而言，因此實際閾值應取為，其中σ為噪聲的標準差。

對于匯率市場的高頻信號數據，本文采用了極小極大準則(MINIMAXI)進行閾值處理。

3.2常用的閾值處理函數

閾值確定后，利用閾值函數對閾值進行處理。傳統處理閾值的閾值函數可以分為以下兩種，一為硬閾值函數;二為軟閾值函數。其估計小波系數的表達式分別為:硬閾值法保留較大的小波

系數將較小的小波系數置零，即 ;而軟閾值法將較小的小波系數置零，對較大的小波系數向零進行了收縮，

即 。軟、硬閾值方法雖然在實際中得到了廣泛的應用，也取得了較好的效果，但這些方法本身還存在一些缺陷，在硬閾值處理過程中，得到的估計小波系數連續性差，即 在Tr處是不連續的，利用 重構所得的信號可能會產生一些振蕩;而軟閾值方法估計小波系數雖然連續性好，但是由于當小波系數較大時， 和wj，k之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構信號與真實信號的逼近程度，給重構帶來不可避免的誤差。

3.3改進的閾值處理函數

(1)在軟硬閾值函數的基礎上采用軟硬閾值折中的方法來進行閾值處理，可得到比單純的硬閾值或軟閾值函數更有效的去噪效果，軟硬閾值折中方法的表達式如下:

，

特別的，當a分別為0和1時，上式成為硬閾值和軟閾值估計方法。對于一般的0

(2)指數型閾值函數不但同軟閾值函數一樣具有連續性，而且當 時高階可導的，便于進行各種數學處理，指數型閾值函數以為漸近線，隨著Wj，k的增加， 逐漸接近于Wj，k，克服了軟閾值函數中 與Wj，k之間存在恒定偏差的缺點，指數型閾值函數也是介于軟、硬閾值函數之間的一個靈活選擇，可以通過N的取值變化，得到是用有效的閾值函數，當N得取值等于Tr時，就得到改進的指數型閾值函數，其表達式為:

該函數在小波域內是連續的，它減小了軟閾值方法中產生的恒定偏差，提高了重構精度，改善了去噪效果。這種閾值函數同指數閾值函數不同的是它不需要選擇參數，對小波系數采取的是緩變的壓縮，隨著小波系數的不斷增大而壓縮量減小，當小波系數大于一定值時，不進行壓縮處理，這樣能較好的處理有用信號中存在的噪聲分量。

四、實證分析

本文選取2006年9月27日~2010年7月30日歐元兌美元日收盤價為研究對象，在MatlabR2009a環境下進行去噪對比試驗和實證分析，針對外匯市場時間序列數據奇異點密度非常大，消失矩不能太高，所以選擇小波 sym6小波，分解層數為3層，分解結果如圖1所示。然后采用軟閾值函數、硬閾值函數、軟硬閾值折中函數和改進的指數型閾值函數分別進行消噪。各種消噪方法得到的信噪比和均方根誤差如表1所示。

由表1可知，在極小極大閾值準則下，軟硬閾值折中去噪方法要優于其他的去噪方法，并且求的的最佳折中系數a=0.01。

同樣在MatlabR2009a環境下，對于歐元對美元匯率序列在基于極大極小閾值條件下進行折中閾值方法去噪。如圖2和圖3所示，從圖中可以看出利用小波去噪得到較好的效果。

五、結論

本文對基于小波閾值函數去噪方法進行了研究，通過對傳統的軟、硬閾值函數方法和經過改進的閾值函數去噪方法進行試驗比較，得到折中閾值法的均方根誤差和去噪后的信噪比均優于其他算法，說明該方法能在一定程度上克服單純的硬閾值法和軟閾值法中固有的缺點，而且去噪效果也比改進的指數型閾值函數好。從實例可以看出，基于小波閾值折中法去噪在匯率市場取得了較好的效果。小波閾值函數去噪方法能夠在保持信號奇異性的同時有效地去除噪聲、提高信噪比，特別適合用于非平穩信號的分析，但在小波去噪中閾值和閾值函數的選取并不是固定不變的，而是要根據不同的信號類型和去噪要求做出相應的調整。

參考文獻:

[1]楊建國.小波分析及其工程應用[M].北京:機械工業出版社，2007:27-29.

[2】Donoho D L，Johnstone I M，Kerkyacharian G，et a1.Waveletshrinkage:A8ymptopia[J].Journal of the Royal Statistical Society，Series B，1995，57:301-369.

[3]董長虹.Matlab小波分析工具箱原理與應用[M]京:國防工業出版社，2008.

[4] 李樹鈺.改進的小波閾值去噪方法及其在MATLAB中的仿真[J] .噪聲與振動控制2010，30(2):56-58.

(作者單位:武漢理工大學經濟學院武漢理工大學信息學院)