基于我國債券市場的二因素Vasicek模型研究

摘要:本文將二因素Vasicek模型運(yùn)用于描述我國債券市場的利率期限結(jié)構(gòu)。文章的主要目的是估計(jì)模型中的參數(shù)。為此，本文選擇卡爾曼濾波法處理市場數(shù)據(jù)。卡爾曼濾波方法所產(chǎn)生的模型數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)在整體上較為接近。因此，二因素Vasicek模型可以較準(zhǔn)確地描述我國債券市場利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特征。

關(guān)鍵詞:利率期限結(jié)構(gòu);二因素Vasicek模型;卡爾曼濾波

1. 引言

利率是經(jīng)濟(jì)的核心變量之一，利率期限結(jié)構(gòu)在金融市場中具有重要意義。定量地刻畫利率期限結(jié)構(gòu)，對于資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理乃至金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)都是必不可少的環(huán)節(jié)。

對利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模的文獻(xiàn)有很多。本文主要例舉動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)方面的文獻(xiàn)。在動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)方面，Merton(1973)首先提出了單因素的利率模型。模型中的利率沒有均值回復(fù)性，模型較為簡單。Vasicek(1977)提出了參數(shù)都為常數(shù)的單因子期限結(jié)構(gòu)模型，模型雖考慮了利率的均值回復(fù)性質(zhì)，但它和Merton的模型一樣，其利率值在模型中取負(fù)值的概率不為0。這與事實(shí)不符。Cox，Ingersoll Ross(1985)在經(jīng)濟(jì)總體均衡的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了利率期限結(jié)構(gòu)模型。該模型中利率的波動(dòng)率不為常數(shù)，而是和利率水平有關(guān)，正的利率越接近0，其波動(dòng)率就越小，因此杜絕了利率取負(fù)值的可能性。Brennan Schwartz(1979)提出了二因素期限結(jié)構(gòu)模型，從而開辟出了二因素利率期限結(jié)構(gòu)的發(fā)展方向。Longstaff Schwartz(1992)在CIR模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)二因素模型，該文認(rèn)為短期利率及短期利率的隨機(jī)方差對利率水平有顯著影響。

國內(nèi)也有關(guān)于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)。范龍振(2005)運(yùn)用上海證券交易所的周樣本數(shù)據(jù)建立了二因素及三因素Vasicek模型。文章顯示二因素Vasicek模型不能充分反應(yīng)利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)間序列的變化，三因素模型的改進(jìn)效果也不佳。傅曼麗，屠梅曾與董榮杰(2005)則對通常的二因素Vasicek模型進(jìn)行了改進(jìn)，指出改進(jìn)過的模型可以較好地描述利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特征。

本文將運(yùn)用二因素動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論為國內(nèi)國債市場的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。所采用的數(shù)據(jù)是上海證券交易所2005年7月到2010年6月的證券交易信息。為避免過于復(fù)雜，文章選用二因素Vasicek模型進(jìn)行估計(jì)。具體的估計(jì)方法選用卡爾曼濾波法。

2. 二因素Vasicek模型的理論

本文對二因素Vasicek模型作了簡化，假設(shè)兩因子不相關(guān)。此外，假設(shè)利率過程R(t)是兩因子Y1(t)與Y2(t)的仿射函數(shù)。兩因子的運(yùn)動(dòng)過程由一組隨機(jī)微分方程給出。具體公式如下:

(2.1)

其中 與 是風(fēng)險(xiǎn)中性概率下的獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，λ1、λ2、δ0、δ1、δ2為常數(shù)，且λ1>0、λ2>0。這里假設(shè)λ1>λ2，這條假設(shè)是為了杜絕利率期限結(jié)構(gòu)表達(dá)形式不唯一的問題。兩因子為不可觀測的量。在這種情況下，要估計(jì)出參數(shù)值最佳的方法是卡爾曼濾波法。本文的目的就是要結(jié)合中國國債市場的數(shù)據(jù)，利用卡爾曼濾波方法估計(jì)出模型參數(shù)的具體數(shù)值。

若用 表示t時(shí)刻剩余期限為的零息債券的到期收益率(也稱為即期利率)，則可以推導(dǎo)出其具體形式為:

(2.3)

公式(2.3)給出了即期利率與兩因子之間的關(guān)系，它也是兩因子的線性函數(shù)。

模型假定兩因子的“風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格”為常數(shù)，分別記為q1，q2。風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下的布朗運(yùn)動(dòng) ， 和真實(shí)概率之下的布朗運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系為:

(2.4)

(2.5)

其中B1(t)，B2(t) 表示真實(shí)概率測度下的相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)。模型在真實(shí)概率測度之下的表達(dá)形式為:

因此，可以得出在真實(shí)概率測度下有:

(公式2.6)

(公式2.7)

(公式2.8)

(公式2.9)

其中0≤s

3. 模型的狀態(tài)空間表示

在運(yùn)用卡爾曼濾波方法之前，應(yīng)先建立動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間系統(tǒng)用以描述即期利率與兩因子的動(dòng)態(tài)關(guān)系。狀態(tài)空間的表示分成兩個(gè)部分:狀態(tài)方程及觀測方程。

首先，狀態(tài)方程的具體形式為:

(3.1)

其中狀態(tài)變量的值為 ， ，即令:

另外，有，，其中的矩

陣為:

擾動(dòng)性為白噪聲。公式(3.1)就是狀態(tài)方程，它反應(yīng)了兩因子現(xiàn)在時(shí)刻的值與前一期的值之間的關(guān)系。矩陣F的具體值是由公式(2.6)及(2.7)得到的。矩陣的值則由式(2.8)及(2.9)得到。由于B1(t)，B2(t)是獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，故中的協(xié)方差部分為0。

其次，觀測方程的具體形式為:

(3.2)

其中xt=1，yt= ，當(dāng)中的值分別取1，2，3，4，5，7及10，

因?yàn)楸疚牡膶?shí)證部分將運(yùn)用期限為1年，2年，3年，4年，5年，7年及10年的即期利率作為數(shù)據(jù)。公式3.2中的A為1×7的行向量，記為 ，

上式中整數(shù)i的取值范圍是1到7。而H為2×7的矩陣，記為 ，

還有，擾動(dòng)項(xiàng)wt為白噪聲:

其中R為7×7矩陣，除對角線元素為 外，其余元素均為0。

狀態(tài)方程及觀測方程共同構(gòu)成了狀態(tài)空間系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中存在文章要計(jì)算的待估參數(shù)。待估參數(shù)總共有14個(gè)，除了文章開頭所列出的λ1、λ2、δ0、δ1、δ2，q1與q2外，還包括矩陣R中的σ1、σ2、…、σ7>0這7個(gè)參數(shù)。估計(jì)出這14個(gè)參數(shù)的值就是文章的目的。為此，要運(yùn)用卡爾曼濾波方法來進(jìn)行估計(jì)。

4. 二因素Vasicek模型的實(shí)證研究

4.1 即期利率的估計(jì)

文章選擇從2005年7月到2010年6月期間上海證券交易所每個(gè)月最后一個(gè)交易日的固定利率國債的交易信息作為數(shù)據(jù)。總共有60天的交易數(shù)據(jù)。每天的交易數(shù)據(jù)涵蓋當(dāng)天交易的所有固定利率國債的債券代碼、成交金額、收盤價(jià)、收盤收益率、年付息頻率、票面利率、剩余期限及修正久期的信息。有這些交易數(shù)據(jù)，就可以估計(jì)出每一天的即期利率。對即期利率的估計(jì)采用靜態(tài)估計(jì)法當(dāng)中的Nelson-Siegel模型，可用該方法估計(jì)出60天中每一天的期限為1年，2年，3年，4年，5年，7年及10年的即期利率。將數(shù)據(jù)繪制成三維圖，結(jié)果如圖1所示:

從2005年7月到2010年6月，所對應(yīng)的序號是從1到60。總共有60組數(shù)據(jù)。由圖1中描繪的即期利率的趨勢可以看出，基本上隨著期限的放寬，即期利率數(shù)值呈上升態(tài)勢。也就是說，對于大多數(shù)天數(shù)而言，當(dāng)天的即期利率曲線是呈遞增形態(tài)的。

4.2卡爾曼濾波的估計(jì)結(jié)果

卡爾曼濾波所用數(shù)據(jù)就是Nelson-Siegel模型產(chǎn)生的2005年7月到2010年6月間每月最后一個(gè)交易日的即期利率數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均含有當(dāng)天期限為1年、2年、3年、4年、5年、7年與10年的即期利率估計(jì)數(shù)據(jù)，總共有60組。本文中卡爾曼濾波方法是通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)的。所建模型14個(gè)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果如表1所示:

從δ1與δ2的數(shù)值可以看出，在本文設(shè)定的模型中，利率過程與兩因子正相關(guān)。風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格q1與q2均為正，即要求風(fēng)險(xiǎn)越大，期望收益率越高。基于這些估計(jì)出的參數(shù)，可以用卡爾曼濾波法產(chǎn)生每一期的觀測向量的預(yù)測值。將這60組預(yù)測值繪制成三維圖，如圖2所示:

圖2的利率趨勢與圖1顯示的實(shí)際的即期利率趨勢大體相同。兩圖所示內(nèi)容相近，這說明預(yù)測值與實(shí)際值接近。為詳細(xì)比較，可以繪制特定期限即期利率的預(yù)測值與實(shí)際值的對比圖。圖3到圖9分別展示了期限為1年、2年、3年、4年、5年、7年、10年的即期利率實(shí)際數(shù)據(jù)(即Nelson-Siegel模型的估計(jì)結(jié)果)與預(yù)測數(shù)據(jù)的變化趨勢。

圖3到圖9中的實(shí)線表示Nelson-Siegel模型產(chǎn)生的特定期限的即期利率估計(jì)數(shù)據(jù)，它們就是卡爾曼濾波中的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)。而圖中的虛線表示卡爾曼濾波的預(yù)測值。從趨勢上看，各期限的利率在從第20個(gè)月到第35個(gè)月左右的時(shí)間里處在高位，這段時(shí)間是從2007年年初到2008年的上半年。之后，利率迅速回落又再次拉升，最終回歸到平均水平。從實(shí)際值與預(yù)測值的對比來看，卡爾曼濾波對于1年期即期利率的預(yù)測并不理想，但對其余期限利率的預(yù)測則較好，比如4年期、5年期及7年期的即期利率。總體上，預(yù)測值與實(shí)際值較接近，因此，二因素Vasicek模型能夠較真實(shí)地反應(yīng)利率的變動(dòng)過程。

5. 結(jié)論

由實(shí)證結(jié)果可知，利率過程的仿射函數(shù)形式中兩因子前的系數(shù)均為正，即兩因子對瞬時(shí)利率過程均有正向的影響。本文所建的簡化二因素Vasicek模型總體上能夠較真實(shí)地反應(yīng)即期利率的動(dòng)態(tài)特征。該模型對1年期即期利率的擬合不夠準(zhǔn)確。相較而言，它能夠較好地反應(yīng)其他期限的即期利率變動(dòng)情況。

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(作者單位:安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院)