轉化思想在初中數學解題中的應用

摘 要: 轉化思想就是把未知的、陌生的、復雜的問題，轉化為熟悉、規范、簡單的問題。本文將轉化思想在初中數學解題中的應用作簡單的闡述，并通過對初中數學常見的數學題型的研究，初步分析該思想在解題中的應用，使學生能夠在已有知識范圍內解決比較復雜的數學問題，為數學解題提供捷徑。

關鍵詞: 初中數學解題 轉化思想 轉化類型 轉化方法

布盧姆在《教育目標分類學》明確指出，數學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”。如果學生在掌握雙基的同時，接受了數學思想，學會了數學方法，就能激發學習數學興趣，提高分析問題和解決問題的能力，并為以后的數學學習打下堅實的基礎。

數學解題的本質就是轉化，即把生疏問題轉化為熟悉問題，把抽象問題轉化為具體問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把高次問題轉化為低次問題，把未知條件轉化為已知條件，把一個綜合問題轉化為幾個基本問題。因此學生學會的數學轉化，既包含了數學特有的數、式、形的相互轉換，又包含了心理達標的轉換。轉化的目的是不斷發現問題，然后分析問題，最終解決問題。下面我結合自己多年的教學實踐，談談在初中數學解題中常見的基本轉化類型和轉化方法。

一、運用數與形之間的“轉化”，化抽象為直觀。

初中數學是以“數”與“形”這兩個基本概念為基礎而展開的。《初中數學新課程標準》(以下簡稱《新課標》)在學習內容中要求:“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。”如運用平面直角坐標系來解決有關函數方面的問題，可以通過圖形將復雜或抽象的數量關系直觀形象地翻譯出來，探索出一條合理而乘勢的解題途徑，從而達到解決學生心中存在的困惑，培養學生的數學解題能力目的。

例1:(2009廣東肇慶中考)如圖，已知一次函數y=x+m(m為常數)的圖像與反比例函數y=(k≠0)的圖像相交于點A(1，3)。

(1)求這兩個函數的解析式及其圖像的另一個交B的坐標。

(2)觀察圖像，寫出使函數值y>y的自變量的取值范圍。

分析:①本題要求函數解析式，只要把點A(1，3)代入函數關系式(點轉化為數)，即解得m=2，k=3。

②要求兩圖像的另一交點B的坐標，只要解兩個函數聯立成的方程組，解得的另一組解(數轉化為點)，即得點B(-3，-1)，此解題過程就是將數轉化為形的過程(使學生直接感受到抽象的方程組解，就是在平面直角坐標系中兩個圖像的交點的坐標)。

③要寫出函數值y>y的自變量的取值范圍(若轉化為解分式不等式，則超出初中數學知識范圍)，本題可通過把形轉化為數來解決，即通過觀察圖像可知:所謂函數值y>y，即在平面直角坐標系中就是直線在雙曲線上方部分，此時自變量x的取值范圍為:-31。

二、把綜合問題“轉化”為基礎問題，變復雜為簡單。

數學解題的過程是分析問題和解決問題的過程，對于較難(繁)的問題，可以通過分析將問題轉化成幾個難度與學生的思維水平同步的小問題，再根據這幾個小問題之間的相互聯系，以局部知識的掌握為整體服務，從而找到解題的捷徑。

例2:(2010江蘇南京中考壓軸題)如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連結EG、FG。

(1)設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長。

分析:本題通過以下幾步轉化:(1)把動點E轉化為定點，一般學生見到動點就無從下手，找不到解題思路。只有將動點轉化為定點，學生解題才能找到感覺，如何將動點轉化為定點，就是我們常講的“動中取靜”。當點E在線段AB上運動，只可能存在三種情況:①點E與點A重合;②點E與點B重合;③點E在線段AB上，通過觀察分析不管點E在什么位置，△EGF的面積y=EF×MG。(2)把線段EF轉化用含x的代數式來表示;由M為AD中點，易證Rt△EAM≌Rt△FDM，得到EM=FM，在Rt△EAM中，由勾股定理得EM=，即EF=2。(3)把線段MG轉化用含x的代數式來表示;作MN⊥BC，構造Rt△MNG∽Rt△EAM，由相似三角形對應邊成比例，得到MG=2。綜合上述三次轉化即得到△EGF的面積為=×2×2=2x+2。

由第一步的“動中取靜”的轉化可知:點E由點A移動到B，所以自變量x的取值范圍為0≤x≤2;只要在圖中簡單的畫出點E分別在于A、B兩點重合時，線段MG的中點P的位置，很容易得到線段MG的中點P運動的路線長為2。

三、把實際問題“轉化”為數學模型，體會數學與現實生活的密切聯系。

《新課標》在基本理念中指出:“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象。”重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯系，是《新課標》強調的重點之一。在解決實際問題時，教師要重在分析，把實際問題轉化為數學模型，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力。

例3:(2010山東青島市中考題)某市政府大力扶持大學生創業。李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看作一次函數:y=-10x+500。

(1)設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?

(2)如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元?

(3)根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=進價×銷售量)

分析:(1)要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?”，也就是把實際問題轉化二次函數的極值問題:即每月利潤=每件產品利潤×銷售產品件數，得:w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)，通過整理轉化為二次函數w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

(2)要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元”，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，由題意得:(x-20)·(-10x+500)=2000，解這個方程得:x=30，x=40。所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

(3)要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數、二次函數有關性質來完成。∵二次函數w=-10x+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000;又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000;設成本為P(元)，由題意得:P=20(-10x+500)=-200x+10000，由一次函數性質k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∵30≤x≤32，∴x=32時，P=3600，要實現銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

綜上所述，轉化思想貫穿在數學解題的始終，而轉化思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統一的模式可遵循，需要依據問題提供的信息，利用動態思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學習和熟悉轉化的思想，有意識地運用數學變換方法，去靈活地解決有關數學問題，將有利于提高數學解題的應變能力和技巧。

參考文獻:

[1][美]洛林·W.安德森.布盧姆教育目標分類學:分類學視野下的學與教及其測評[M].北京:外語教學與研究出版社，2009.

[2]中華人民共和國教育部.初中數學新課程標準[M].北京:人民教育出版社，2008.