高中物理極值求解方法初探

物理極值問題，就是求某物理量在某過程中的極大值或極小值。物理極值問題是中學物理教學的一個重要內容，在高中物理的力學、熱學、電學等部分均出現，涉及的知識面廣，綜合性強，加之學生數理結合能力差，物理極值問題已成為高中物理教學中的難點。如果能與數學知識靈活整合，將會拓展解決物理極值問題的思路，提高運用數學知識解決物理問題的能力。

一、運用二次函數求極值

對于典型的一元二次函數y=ax+bx+c，

若a>0，則當x=-時，y有極小值，為y=;

若a<0，則當x=-時，y有極大值，為y=。

例1:一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動后，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠?此時距離是多少?

解:經過時間t后，自行車做勻速運動，其位移為S=Vt，汽車做勻加速運動，其位移為:S=at。

兩車相距為:△S=S-S=Vt-at=6t-t。

這是一個關于t的二次函數，因二次項系數為負值，故△S有最大值。

當t=-==2(s)，△S有最大值:△S===6(m)。

二、利用不等式求極值

1.如果a、b為正數，那么有:a+b≥2，當且僅當a=b時，上式取“=”號。

推論:①兩個正數的積一定時，兩數相等時，其和最小。

②兩個正數的和一定時，兩數相等時，其積最大。

2.如果a、b、c為正數，則有a+b+c≥3，當且僅當a=b=c時，上式取“=”號。

推論:①三個正數的積一定時，三數相等時，其和最小。

②三個正數的和一定時，三數相等時，其積最大。

例2:一輕繩一端固定在O點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度釋放，如圖1所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，所受重力的瞬時功率在何處取得最大值?

解:當小球運動到繩與豎直方向成θ角的C時，重力的功率為:

P=mgυcosα=mgυsinθ……①

小球從水平位置到圖中C位置時，機械能守恒有:

mgLcosθ=mv……②

解①②可得:P=mg

令y=cosθsinθ

則y=cosθsinθ=

=

又因為2cosθ+sinθ+sinθ=2(sinθ+cosθ)=2

根據基本不等式a+b+c≥3，定和求積知:

當且僅當2cosθ=sinθ時，y有最大值，由2cosθ=1-cosθ得:cosθ=

結論:當cosθ=時，y與功率P有最大值。

三、利用三角函數求極值

如果所求物理量表達式中含有三角函數，可利用三角函數的有界性求極值。若所求物理量表達式可化為“y=Asinαcosα”的形式，可變為y=Asin2α，當α=45°時，有極值。

例3:如圖2所示，底邊恒定為b，當斜面與底邊所成夾角θ為多大時，物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時間最短?

此題的關鍵是找出物體從斜面頂端滑至底端所用時間與夾角的關系式，這是一道運動學和動力學的綜合題，應根據運動學和動力學的有關知識列出物理方程。

解:設斜面傾角為θ時，斜面長為S，物體受力如圖所示，

由圖知S=……①

由勻變速運動規律得:S=at……②

由牛頓第二定律得:mgsinθ=ma……③

聯立①②③式解得:

t===

可見，在90°≥θ≥0°內，當2θ=90°時，sin2θ有最大值，t有最小值。

即θ=45°時，有最短時間為:t=。

綜上所述，無論采用何種方法解物理極值問題，我們首先都必須根據題意，找出符合物理規律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，不能盲目地將物理問題純數學化。