既有絕對(duì)值又有字母的函數(shù)的最值的求法

一般的，在一個(gè)函數(shù)里，如果只含有絕對(duì)值，那么在求最值時(shí)，只要把絕對(duì)值符號(hào)去掉，寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，然后在每一段上分別求最值，再把這些最值進(jìn)行比較，如果是求最小值，則其中最小的即為所求;如果是求最大值，則最大的即為所求。在一個(gè)函數(shù)里如果含有一個(gè)參數(shù)，而沒(méi)有絕對(duì)值，只要對(duì)字母進(jìn)行分類討論，對(duì)每一種情況分別求最小值，再總結(jié)給出答案即可。

那么當(dāng)一個(gè)函數(shù)里既有絕對(duì)值，又有字母時(shí)，如何求最值呢?我們先看下面的例題。

例1.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2x+(x-a)|x-a|。

(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍;

(2)求f(x)的最小值;

(3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)，x∈(a，+∞)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集。

解析:(1)解答略。

(2)(ⅰ)當(dāng)x≥a時(shí)，即在x∈[a，+∞)上，f(x)=3x-2ax+a，

f(x)是對(duì)稱軸為x=且開(kāi)口向上的拋物線，所以有以下兩種情況:

①a≥0，這時(shí)f(x)在[a，+∞)上遞增，當(dāng)x=a的時(shí)候取得最小值，所以f(x)的最小值為f(a)=2a

②a<0，這時(shí)f(x)在(a，)上遞減，在(，∞)上遞增，當(dāng)x=的時(shí)候取得最小值，

所以f(x)的最小值為f()=

所以在(a，+∞)上，f(x)=f(a) a≥0f() a<0=2aa≥0a<0

(ⅱ)當(dāng)x

①a≥0，則-a≤0，f(x)在(-∞，-a)上遞減，在(-a，a)上遞增，當(dāng)x=-a的時(shí)候取得最小值，所以f(x)的最小值為f(-a)=-2a。

②a<0，則-a>0，f(x)在(-∞，a)上遞減，當(dāng)x=a的時(shí)取得最小值，所以f(x)的最小值為f(a)=2a。

所以在(-∞，a)上，f(x)=f(-a) a≥0f(a) a<0=-2aa≥02aa<0

綜上:(ⅰ)當(dāng)a≥0的時(shí)候f(x)在(-∞，a)的最小值為-2a，在[a，+∞)上的最小值為2a，而-2a≤2a，所以a≥0的時(shí)候，f(x)的最小值為-2a;

(ⅱ)當(dāng)a<0的時(shí)候，f(x)在(-∞，a)的最小值為2a，在[a，+∞)上的最小值為，而

∴f(x)=-2a a≥0 a<0

(3)解答略。

例2.設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x+a|lnx-1|。

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值。

解析:(1)解答略。

(2)①當(dāng)x≥e時(shí)，f(x)=x+alnx-a，f′(x)=2x+(x≥e)。

∴f(x)>0恒成立。∴f(x)在[e，+∞)上增函數(shù)。故當(dāng)x=e時(shí)，y=f(e)=e。

②當(dāng)1≤x

(i)當(dāng)≤1，即0

(ii)當(dāng)1<

故當(dāng)x=時(shí)，y=-ln，且此時(shí)f()

(iii)當(dāng)≥e;即a≥2e時(shí)，f′(x)在x∈(1，e)時(shí)為負(fù)數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=e時(shí)，y=f(e)=e。

綜述:①當(dāng)a≥2e時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e，所以此時(shí)f(x)的最小值為f(e)=e;

當(dāng)2

f(x)的最小值為f()=-ln

②當(dāng)0

而f(1)

所以y=f(x)的最小值為y=1+a02e

評(píng)注:既含有絕對(duì)值又含有字母函數(shù)求最小(大)值的一般步驟是:

(1)先把絕對(duì)值符號(hào)去掉，寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，在每一段上求最小(大)值;

(2)用上面只含有字母的函數(shù)求最小值的方法，對(duì)字母進(jìn)行分類，求每種情況下的最小值;

(3)最后按字母的分類，對(duì)每一種情況的最小(或最大)值進(jìn)行比較，取其中的最小(或最大)值，并進(jìn)行綜合表述，用比較簡(jiǎn)單的形式表示即可。