例談三角函數(shù)中的范圍問題

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用，同時(shí)它也是高考的必考內(nèi)容，考查難度不大，把能得到的分都得到，是廣大考生一直追求的境界，但往往事與愿違。我從實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)中的很多題目都是在“范圍”方面出錯(cuò)，教師應(yīng)該在教學(xué)中引起重視。下面我就幾個(gè)例子來具體談一下三角函數(shù)中的范圍問題。

一、數(shù)形結(jié)合，巧求范圍

例1.求函數(shù)y=的定義域。

解法一:由題意知需2sinx+1≥0，即需sinx≥-。如圖1，由正弦曲線知，在一個(gè)周期上[-，]，符合條件的角的范圍為[-，]。根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，可知函數(shù)的定義域?yàn)閇2kπ-，2kπ+]，k∈Z。

解法二:如圖2，由三角函數(shù)線可看出，滿足sinx=-的角可以是-、，而滿足sinx≥-的角的終邊必須在-、的終邊的上方，再結(jié)合正弦函數(shù)的周期性可知，所求的定義域?yàn)閇2kπ-，2kπ+]，k∈Z。

例2.已知f(x)是定義在(-3，3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0

解:由f(x)是定義在(-3，3)上的奇函數(shù)，可知f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱，把圖像補(bǔ)全，再結(jié)合y=cosx的圖像可知所求解集為(-，-1)∪(0，1)∪(，3)。

評(píng)析:例1可用兩種方法從“形”的角度來解決問題，第一種方法是根據(jù)正弦曲線的圖像特征，先找出在一個(gè)周期內(nèi)的符合條件的角的范圍，再根據(jù)周期性得到結(jié)論;第二種方法是利用三角函數(shù)線來找出角的范圍。熟練掌握函數(shù)圖像、三角函數(shù)線的畫法和合理選擇一個(gè)周期是解決問題的關(guān)鍵。例2的難點(diǎn)在于如何根據(jù)奇偶性把圖像補(bǔ)全，如何把f(x)的圖像和y=cosx的圖像有機(jī)地結(jié)合起來。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中常用的重要的解題思想方法之一，它的特點(diǎn)是直觀、形象、解題快捷，合理利用數(shù)形結(jié)合，對(duì)解題往往可以起到事半功倍的效果。

二、縮小范圍，正確解題

例3.已知tan(α-β)=，tanβ=-，且α、β∈(0，π)，求2α-β的值。

解:由兩角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1，

因?yàn)棣痢ⅵ隆?0，π)，且tanα<1，tanβ<0，

所以α∈(0，)、β∈(，π)，(2α-β)∈(-π，0)。

因?yàn)樵?-π，0)上滿足正切值等于1的角只有-，

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中，cosA=，sinB=，則cosC的值為

解:分∠B為鈍角和銳角兩種情況討論:

(1)若B為銳角，則sinA=，cosB=，所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B為鈍角，因?yàn)閟inB=<，所以∠B>，又0

所以∠A>，從而∠A+∠B>π，不可能。

綜上所述，cosC的值只能為-。

評(píng)析:由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，即自變量與三角函數(shù)值是多對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，解三角問題時(shí)要特別注意確定角的實(shí)際變化范圍，盡可能地縮小角的范圍，否則會(huì)出現(xiàn)增解。在教學(xué)中，這兩道題的錯(cuò)誤率都很高，均涉及到范圍的縮小問題，如例3中學(xué)生在求出tan(2α-β)=1后，往往沒有注意到根據(jù)已有信息縮小范圍，而是直接由題中所給范圍得出(2α-β)∈(-π，2π)，所以2α-β的值有三個(gè)，即、-、，從而出現(xiàn)增根。而例4難度則更大，更容易被學(xué)生所忽視，很多學(xué)生直接分∠B為銳角和鈍角來解題，有一部分學(xué)生可能懷疑鈍角的情形，卻不會(huì)正確縮小范圍，最終還是求出的兩個(gè)結(jié)果，導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生。

三、隱含條件，不容忽視

例5.設(shè)cosθ+sinθ=m，則使sinθ+cosθ>0的m的范圍是

解:對(duì)sinθ+cosθ=m兩邊平方易得sinθcosθ=，

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)<0，從而m<-或0

另外，m=sinθ+cosθ=sin(θ+)，所以-≤m≤……②

由①②得m的范圍是(0，]。

評(píng)析:本題的解題關(guān)鍵是要把握住三點(diǎn):一是正確對(duì)sinθ+cosθ進(jìn)行因式分解;二是正確解不等式m(m-3)<0;三是由m=sinθ+cosθ=sin(θ+)得出-≤m≤。解決這三點(diǎn)以后，只需要找出所得兩個(gè)范圍的公共部分即可，而其中的第三點(diǎn)是絕大部分學(xué)生容易忽視的隱含條件，也是本題錯(cuò)誤的根源。隱含條件是一種在題目中含而不露的條件，它的隱蔽性往往給同學(xué)們?cè)斐蓷l件不足的假象或者考慮不全面，導(dǎo)致解題困難或者思維不嚴(yán)謹(jǐn)。但如果我們能仔細(xì)分析、推敲，就可以將其挖掘出來。特別是在審題過程中，若能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用隱含條件，不僅可以迅速找到解題的突破口，而且能使解題過程簡單、明了。