個人住房按揭貸款模型

摘要按揭貸款的還款方式，根據不同的標準可以有不同的還款方式，本文從“每隔一年月還貸額作一次等比變動”“每隔一年月還貸額作一次等差變動”兩個角度建立相關模型并運用一階差分方程的相關知識求解，并以實例說明模型在經濟生活中的具體運用。

關鍵詞差分方程 按揭貸款 償還

中圖分類號:F293.3文獻標識碼:A

隨著經濟的逐步發展，人們對生活質量的要求也越來越高，越來越多的人正在購置房產用于居住或進行置業投資，現實生活中，人們在選擇貸款的期數(即時間長短)、月還款額(即月供)時，卻往往因為缺乏這方面的知識，而帶有一定的盲目性，給自己帶來或多或少的經濟損失。本文利用一階線性差分方程，根據不同的還貸方式，建立個人住房按揭貸款的模型，期望能對人們在相關方面進行指導。

1模型準備

個人住房按揭貸款是指銀行向借款人發放的用于購買自用新建住房的貸款，即通常所說的“個人住房按揭貸款”。

貸款額度:銀行發放的個人住房按揭貸款數額，不高于房地產評估機構評估的擬購買住房的價值或實際購房費用總額的80%(以二者低者為準)。

貸款期限:貸款期限最長不超過30年。

貸款利率:按中國人民銀行規定，最低按相應檔次基準利率0.9倍的下浮利率執行。

但是隨著經濟的發展，人們的預期收入將逐步增長，再說貸款前期可能手頭緊一些，人們自然希望按揭貸款的月還貸額前期少一些，后期多一些，也就是希望銀行能推出變額還貸的按揭貸款。根據還貸方式的不同，特選每隔一年月還貸額作一次等比變動進行模型的建立與分析。

2模型假設

(1)銀行及借貸公司在貸款期限內利率不變;

(2)不考慮物價變化及貨幣貶值等經濟波動的影響;

(3)利率轉化函數合理性及實用性已經實踐檢驗;

(4)銀行利息按復利計算且單位時間可任意縮短至時間變量連續性變化。

符號說明:

Q0——初期貸款總額

R——月利率(以復利計算)

N——還貸總期數

A——初期還貸額

Qn——經過n期還貸后欠銀行的款額

3模型建立

設從第二年起每年的月還貸額為上年月還貸額的q倍，這里設N=12H，則第一年的12個月，Qn滿足

Qn+1=Qn(1+R)- A (1)

這里 n=0，1，2，… ，11

(1) 式為一階非奇次線性差分方程。

對于(1)式，可講其表為如下形式:

Qn+1+X=(Qn+X)(1+R) (2)

其中X為一未知變量。

將(2)式展開得:

Qn+1= (1+R)Qn+RX (3)

(3)式與(1)式對比得:

X= - (4)

再將(4)式帶入(2)式得:

Qn+1-=(Qn-)(1+R) (5)

由(5)式可以看出，{Qn- }是一個以(Q0- )為首項，以(1+R)為公比的等比數列。

因此，可以得出方程的通解為:

Q=(Q0- )(1+R)n+ (6)

其中 n=0，1，…，12

同樣的，在第二年的12個月，Qn滿足一階非齊次線性差分方程:

Qn+1= Qn(1+R)-Aq(7)

其中n=12，13，…，23

解此差分方程(7)可得:

Qn=[Q0- -](1+R)n+ (8)

其中 n=12，13，…，24

以此類推，在第L年的12個月，Qn滿足一階非齊次線性差分方程:

Qn+1=Qn(1+R)-Aql(9)

其中n=12，12+1，…，12(+1)-1

解此差分方程(9)可得

Qn=Q12l+m=[Q0----…-] (1+R)n+=Q0(1+R)n-[(1+R)n-ql]-≤ (1+R)m(10)

其中 m=0，1，…，11;=0，1， …，H

4 模型分析

由解(10)可以求出各月還貸后欠銀行的錢款數，并由Qn=0，可得出首次還貸額A的計算公式:

A=(11)

顯然，實際情況并不會只按照“每隔一年月還貸額作一次等比變動”的趨勢變化，下從另一個方面進行了深入分析，也即從“每隔一年月還貸額作一次等差變動”的角度討論。

模型(二)

假設每隔一年月還貸額增加d元，為了方便起見，這里設N=12L，則第一年的12個月，Qn滿足一階非齊次線性差分方程

Qn+1=Qn(1+R)-A (12)

其中 n=0，1，2，…，11

解此差分方程(12)可得:

Qn+1=(Q0 - )(1+R)n+ (13)

其中 n=0，1，2，…，12

同樣的，在第二年的12個月，Qn滿足一階非齊次線性差分方程

Qn+1=Qn(1+R)-(A+d) (14)

這里 n=1，2，3，…，23

解此差分方程(14)可得:

Qn=(Qn- -(1+R)n+ (15)

其中 n=1，2，3，…，24

以此類推，在第L年的12個月，Qn滿足一階非齊次線性差分方程

Qn+1=Qn(1+R)-(A+ld)(16)

解此差分方程(16)可得:

這里 m=0，1，2，…，11;=0，1，2，…，L

同時，由解(17)還可以求出各月還貸后還欠銀行的錢款數，并可得出首次還貸額的計算公式:

(18)

5 模型檢驗

以下用實際的例子來檢驗模型的正確性。

[例]張先生向銀行貸款20萬元，月利率為0.0042，10年還清。

(1)根據模型(一)計算，如果從第二年起，每年的月還貸額為上年的月還貸額的1.1倍，首次還貸額和最后一次還貸額各為多少?

(2)根據模型(二)計算，如果每隔一年每月還貸額增加200元，首次還貸額為多少?

還貸5年后，尚欠銀行的錢款數:

[解](1)用Q0=200000，R=0.0042， Cq=1.1，CN=120代入

最后一次還貸額A120=Aq9=1386.87€?.19=3270.17(元)

(2)用Q0=200000，R=0.0042，d=200，N=120代入公式(18)得:

=1307.86(元)

用Q0=200000，R=0.0042，d=200，n=60，A=1307.86代入公式(17)得:

=142288(元)

由以上例題的計算結果可以看出，說建立的兩個模型是符合實際的。

所建立的模型及所用例子表明，按揭貸款模型可以幫助顧客根據自己的收入情況選擇貸款的數量、還款期限，并根據自身收入的變化情況，決定首期付款及逐步增加或減少的額度，并隨時了解自己尚欠銀行的錢數，及時調整和改變投資策略.同時可增加銀行貸款的透明度，為銀行等金融機構提高服務質量提供必要的保證。

通過以上兩個模型的討論和實例計算，有關個人住房按揭按揭貸款的還款問題，借貸人除了確定還貸期限外，還可以根據自已的經濟收入的情況，選擇不同的還貸方式，并可決定首期還貸額，也就是說還貸具有一定的靈活性，這樣的按揭貸款也許會更受人們的歡迎。

參考文獻

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