數(shù)學概念學習的層次性評價

【摘要】隨著國內(nèi)外數(shù)學教育改革的不斷深入，對中小學\"生數(shù)學概念學習評價已經(jīng)是數(shù)學教學研究中的一個熱點問題。本文論述了數(shù)學概念學習層次性評價的理論基礎和研究進展。闡釋了數(shù)學理解的層次性分析方法——SOLO分類原理。并在此基礎上構(gòu)建了數(shù)學概念學習的層次性評價模型及其理論支撐。試圖對數(shù)學概念的研究與實踐有重要的科學價值和指導意義。

【關鍵詞】數(shù)學概念；層次性評價模型；SOLO分類原理

數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點。是學生認知的基礎，是學生進行數(shù)學思維的核心。而考查學生對數(shù)學概念學習的理解水平，建立目標多元和方法多樣評價體系，對于全面了解學生的學習情況。激勵學生學習和改進教師的教學具有重要的科學價值與實踐指導意義。

1 數(shù)學理解的層次性分析——SOLO分類原理

Biggs認為，認知的質(zhì)的產(chǎn)物(qualitative outcome)就是理解。那么，如何來評價學生對知識的理解程度呢?Biggs和Collis提出了SOLO(structure ofthe observed learning outcome)分類原理。Biggs等(1982)認為，必須評價學習的質(zhì)性的方面，學習者的掌握知識的結(jié)構(gòu)組織(strutural organization)是可觀察的學習結(jié)果的結(jié)構(gòu)，反映了學生在特定知識點的概念理解和思維的層次。是研究學習者的學習質(zhì)量的重要線索。Biggs等認為，SOLO分類原理，強調(diào)觀察學生外顯行為的重要性，。是一套描述學生學習素質(zhì)和水平的語言，并且適合于任何科目的評價標準SOLO模型關注對回答的結(jié)構(gòu)進行分析，按結(jié)構(gòu)的復雜程度，通常根據(jù)回答表現(xiàn)被劃分為5個水平：前結(jié)構(gòu)水平(P)、單一結(jié)構(gòu)水平(U)、多元結(jié)構(gòu)水平(M)、關聯(lián)水平(R)和進一步抽象水平(E)。不同的結(jié)構(gòu)對應了數(shù)學理解和思維的層次。可見，SOLO結(jié)構(gòu)的層次對應了概念理解的層次，分類結(jié)構(gòu)是一個由簡單到復雜的層次類型，前三個層次是基礎知識的積累。而后兩個層次是理論思維的飛躍。而要實現(xiàn)思維能力的突破。又離不開基礎知識的積累。SOLO分類原理在評價學生數(shù)學理解程度上應用比較廣泛。為了評價學生的數(shù)學理解，對于每一個要考查的知識的范圍還需要制定具體的表現(xiàn)標準。SOLO方法在評價學生數(shù)學學習的質(zhì)的方面提出了一條很有價值的思路，利用這種方法。我們可以確定理解的層次。評價學生理解的深度。

2 構(gòu)建數(shù)學概念學習的層次性評價模型

按照認知觀點。數(shù)學理解就是個人能針對特定的概念意境，通過新舊知識之間的相互作用，在心理上組織起適當?shù)母拍罱Y(jié)構(gòu)，并使其成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡或結(jié)構(gòu)的一部分。而對于復雜概念的知識本身，認知結(jié)構(gòu)是指人將已認識的知識組織起來的心理系統(tǒng)，所以理解過程又有一個認知發(fā)展過程，即掌握概念的結(jié)構(gòu)組織(通常分為操作、過程、對象、圖式和問題解決等五個水平)；建構(gòu)新的概念必須在認知結(jié)構(gòu)基礎上。通過數(shù)學活動的感知和行動來完成。數(shù)學概念的獲得通常包括：從視覺空間到言語的推理，運用操作符號，連續(xù)地由過程到概念的概括。最后到概念的應用。這個數(shù)學活動過程可以理解為表達數(shù)學關系的過程，即對數(shù)學關系的表示形式。用某種形式來表達數(shù)學概念或關系的行為，即表征類型，關于人類知識表現(xiàn)的三個不同表征類型通常為：動作表征(物理過程)、圖像表征(視覺)和符號表征(形式表示)，而表征方式也可以分為自然語言描述、數(shù)值表示、圖表表示和符號表示等四個水平。

由此，可以將數(shù)學概念理解從結(jié)構(gòu)組織、關聯(lián)程度和表征方式三個維度來評價知識的理解程度(如圖)，而每個維度又表現(xiàn)出不同的層次。從而建立一個由簡單到復雜的層次性評價模型，形象的描述就是從點、線、面、立體、系統(tǒng)的發(fā)展過程。構(gòu)建了一個概念網(wǎng)絡。用不同的視角來評價數(shù)學概念的理解層次。構(gòu)建一個從結(jié)構(gòu)組織、關聯(lián)程度和表征方式三個維度來評價數(shù)學理解的層次性模型。而每個維度又表現(xiàn)出不同的層次，從而建立一個由簡單到復雜的概念網(wǎng)絡，它是一個動態(tài)發(fā)展的評價模型。

3 數(shù)學概念學習的層次性評價模型的理論支撐

從“數(shù)學化”的角度來理解。弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學的學習過程是由各種層次構(gòu)成的，用低層次的方法組織的活動就成為高層次的分析對象，低層次的運算內(nèi)容就成為高層次的題材。”所以數(shù)學概念學習同樣是有層次的。是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上。通過自身的“再創(chuàng)造”，并對此進行重新建構(gòu)，納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中。成為有效而能發(fā)展的知識。所以概念的形成是一種創(chuàng)造性過程，而不是機械的被動過程。我們從概念的結(jié)構(gòu)組織角度來劃分層次是可行且合理的。符合數(shù)學發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性。

從認知發(fā)展層面來理解。理解性學習的有效方式是個體自我數(shù)學的建構(gòu)和對自我知識的反思。在具體知識的學習過程中，都要經(jīng)歷一個從量變到質(zhì)變的過程，每發(fā)生一次躍變，學生對于這一種知識的認知就進入更高一級的階段。數(shù)學概念具有二重性，既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為一種對象、結(jié)構(gòu)；而表征方式體現(xiàn)了由知覺到行動，到目標的轉(zhuǎn)化，也是由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學的高度抽象性。符合數(shù)學由直觀到具體演繹的認知規(guī)律。表征的三種類型從本質(zhì)上說動作表征是物理過程。圖像表征和符號表征是引出物理對象后的抽象過程，它反映了個體從初級到高級數(shù)學思維的認知發(fā)展，可以被假設是開始于外部世界的感知和行動，通過兩個平行的發(fā)展途徑得以建立：一個是從視覺空間到言語的推理，另一個是運用操作符號。連續(xù)的形成由過程到概念的概括，形成了創(chuàng)造性思維。

從評價學生思維能力層面的理解。數(shù)學概念的二重性又決定了數(shù)學思維、理解的二重性。關聯(lián)程度的思維分類結(jié)構(gòu)是一個由簡單到復雜的層次類型。思維結(jié)構(gòu)越復雜。思維能力的層次也就越高；同時它評價的觸角深入到質(zhì)的層面，學生學習能力的提高是一個從量變到質(zhì)變的過程。前三個層次是基礎知識的積累。而后兩個層次是理論思維的飛躍。而表征方式的評價，更能體現(xiàn)學生的思維能力，動作表征、圖像表征都能夠從不同層次反映學生的直觀能力。反映學生對事物本質(zhì)的一種直接洞察能力，直觀是發(fā)現(xiàn)真理、理解數(shù)學的有效渠道，這也體現(xiàn)了學生對數(shù)學概念的理解程度：符號表征是邏輯推理的需要，是抽象的數(shù)學概念的具體表示。是數(shù)學形式簡化的最佳途徑。所以從另一個角度來看，表征方式的評價也考查了學生的直觀與演繹能力。以及迅速進行各種數(shù)學語言形式的轉(zhuǎn)換能力。

從評價質(zhì)量來看。數(shù)學概念學習的層次性評價強調(diào)評定過程的真實性、情境性，關注學生的發(fā)展，能夠逼真地反映學生理解數(shù)學概念的領悟能力、解釋能力和創(chuàng)造力。它有利于量化評價和質(zhì)化評價方法的結(jié)合。是過程性評價和結(jié)果性評價結(jié)合的產(chǎn)物，具有一定的可操作性，但在一定程度上存在不穩(wěn)定性。

關于數(shù)學概念學習評價的研究工作已經(jīng)取得了多方面的成果，但許多研究仍待進一步發(fā)展，所以必須對數(shù)學學習過程作細致的觀察、跟蹤、調(diào)查、實驗和分析，揭示其中的特殊規(guī)律。數(shù)學概念學習的層次性評價模型對一些高層次數(shù)學概念的學習過程作了進一步的揭示。科學系統(tǒng)地建立數(shù)學概念學習評價的一般理論。從而有助于揭示數(shù)學概念學習與教學的規(guī)律，為數(shù)學概念學習與教學的系統(tǒng)研究提供了一定的理論基礎。