換元法在橢圓問題中的運用

〔關鍵詞〕 橢圓問題；換元法；中點弦方程；最值；橢圓 方程

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2010）12（Ａ）—0042—０1

我們在解決橢圓問題時往往因為運算量大，而感覺問題變得很難。其實，在橢圓方程中，令a=b=r，則橢圓方程變為圓方程；在橢圓面積公式S=πab中，令a=b=r，則橢圓面積公式變為圓的面積公式.以上說明圓可以看作是特殊的橢圓，它們有很多相似的性質，從而橢圓的有些問題就可以用圓的知識來處理.下面分類舉例，予以說明.

求橢圓的中點弦方程

例１：已知橢圓+=1，定點P（m，n）（mn≠0）在橢圓內，求以Ｐ（m，n）為中點的弦所在的直線方程.

解：令x′=，y′=，則已知橢圓和定點P（m，n）變為相應的圓x′2+y′2=1和定點P′（，），從而所求問題變為：求圓x′2+y′2=1內以P′（，）為中點的弦所在的直線方程.∵直線OP′的斜率kOP′==，∴以P′為中點的弦所在直線的斜率為-，弦所在直線的方程為y′-=－（x′-），化簡得b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.

評析：本題也可用韋達定理或“點差法”解決，但運算較繁瑣，而以上解法通過換元法將橢圓轉化為圓，再運用圓的性質輕松求解，可謂方法獨特.

求橢圓上的動點到定直線（或定點）的距離的最值

例2：在橢圓+=1上求一點，使它到直線l：3x-2y-16=0的距離最短，并求此距離.

解：令x′=，y′=，則已知橢圓和直線l變為相應的圓x′2+y′2=1和直線l′：6x′-2y′-16=0.從而所求問題變為：求圓x′2+y′2=1上一點到直線l′：6x′-2y′-16=0的距離最短問題.由平面幾何知識可知，過圓x′2+y′2=1的圓心O′（0，0）作直線l′的垂線段，交圓于點P′（x′，y′），點P′到垂足的距離最短.因此由直線l′的垂線O′P′：y′=-x′和圓x′2+y′2=1相交，可求得點P′為（，-）.則相應橢圓上所求的點Ｐ為（，-），所求最短距離為=.

評析：此類問題還可用函數法、判別式法、導數法和參數法求解，而通過換元法將橢圓和直線（或定點）轉化為相應的圓和直線（或定點），運用圓的性質和平面幾何知識使問題易于理解，又可避免較為繁瑣的計算過程.

求橢圓方程

例３：已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，過點M（0，2）作直線l與橢圓交于A、B兩點，設N為AB的中點，且KＯＮ=，=，求橢圓的方程.

解：設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），已知e==，得a2=2b2，橢圓方程變為+=1，即x2+=2b2.令x′=x，y′=y，則橢圓和定點M（0，2）變為相應的圓x′2+y′2=2b2和定點M′（0，2）.變化前后如上圖所示：

設N為（x0，y0），N′為（x′0，y′0），則kO′N′===kON=.∵ N為AB的中點，∴ 坐標線性變換后，N′為A′B′的中點，∴ O′N′⊥A′B′，∴ kA′B′=-=-2，∴直線A′B′的方程為：y′=-2x′+2，O′到直線A′B′的距離d′=|O′N′|=.又|O′M′|=2，∴在Rt△O′M′N′中，|M′N′|

=. ∵==，又N′為A′B′的中點，∴

|A′N′|=|M′N′|=，∴ |O′A′|2=2b2=d′2+|A′N′|2=，得b2=，∴橢圓方程為+=1.

評析：本題通過換元法將橢圓轉化為圓，使得題目中的已知條件變為圓的條件，從而多增加了“圓心與弦的中點的連線與弦垂直”這個條件，接著利用圓中的垂徑定理和勾股定理，就使問題變得容易解決.